Saturiertheit (Modelltheorie)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Modelltheorie ist eine Struktur saturiert, wenn in ihr sehr viele Typen realisiert sind.

Notationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Menge bezeichne wie üblich ihre Mächtigkeit, für eine Sprache sei die Mächtigkeit der Vereinigung der Symbole der Sprache. Für eine Struktur bezeichne ihre Trägermenge.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine beliebige (möglicherweise auch endliche) Kardinalzahl und eine Struktur.

heißt -saturiert, wenn für jede Menge mit jeder vollständige (und somit jeder) 1-Typ über in realisiert wird.

heißt saturiert, wenn -saturiert ist.

Sätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Existenz kappa-saturierter Erweiterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dass saturierte Erweiterungen existieren, zeigt folgender Satz:

  • Zu jeder Kardinalzahl und jeder unendlichen L-Struktur mit gibt es eine -saturierte elementare Erweiterung mit .[1]:125

Universalität und Homogenität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach einem Satz von Michael Morley und Robert Vaught ist eine Struktur genau dann saturiert, wenn sie universell und homogen ist.[2]

Ultraprodukte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abzählbare Ultraprodukte sind -saturiert. Es gilt:

  • Sei eine abzählbare Sprache und für sei eine -Struktur. Dann ist das Utraprodukt nach einem freien Ultrafilter -saturiert.[1]:148

Insbesondere folgt daher aus der Kontinuumshypothese (und dem nächsten Satz, s. u.), dass abzählbare Utraprodukte von Strukturen der Mächtigkeit von höchstens über abzählbaren Sprachen isomorph sind. Dazu zählen z. B. die hyperreellen Zahlen.

Eindeutigkeit von saturierten Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt folgender Isomorphiesatz:

  • Seien und zwei elementar äquivalente L-Strukturen gleicher Mächtigkeit. Sind beide Strukturen saturiert, dann sind sie isomorph.[1]:132

Abzählbare saturierte Modelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine vollständige Theorie ohne endliche Modelle hat genau dann ein abzählbares saturiertes Modell, wenn die Theorie klein ist.[3]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine unendliche Struktur ist offenbar nie -saturiert, falls
  • ist saturiert. Ein vollständiger 1-Typ über einer endlichen Menge besagt gerade, wo die Position von x in Bezug auf die endliche Menge ist. (Es gibt also über einer n-elementigen Menge genau 2n+1 vollständige 1-Typen.) Siehe auch: Dichte Ordnung
  • ist -saturiert, aber nicht saturiert. Der Typ wird nicht realisiert.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerald E. Sacks: Saturated Model Theory. W. A. Benjamin, 1972, ISBN 0-8053-8380-8.
  • Chang, C. C.; Keisler, H. J. Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c A. Prestel: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Braunschweig 1986
  2. Sacks, S. 112.
  3. Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Satz 12.3