Satz von Lüroth

Der Satz von Lüroth ist ein Resultat aus der Algebra. Er wurde von Jacob Lüroth im Jahre 1875 publiziert.

Aussage

Sei $L$ eine rein transzendente Erweiterung des Körpers $K$ vom Transzendenzgrad 1. Ist $P$ ein Zwischenkörper, der von $K$ verschieden ist, so ist $P$ ebenfalls rein transzendent vom Transzendenzgrad 1. Insbesondere ist $P$ isomorph zu $L$.

Ein allgemeingültiger Beweis dazu findet sich in .

Andere Formulierungen

Äquivalent kann man den Satz von Lüroth auch so formulieren: Sei $K$ ein Körper und $L=K(x)$ der Körper der rationalen Funktionen über $K$, also der Quotientenkörper des Polynomrings $K[x]$. Ist $P$ ein Zwischenkörper, der von $K$ verschieden ist, so ist $P=K(t)$ für ein Element $t$ von $L$. Dieses Element $t$ ist immer transzendent über $K$, wohingegen $L$ immer algebraisch über $P$ ist.

Eine weitere äquivalente Formulierung in der Sprache der algebraischen Geometrie besagt, dass unirationale Kurven rational sind.

Lüroth-Problem

Die Frage, ob der Satz von Lüroth auch für Körper vom Transzendenzgrad größer als Eins gilt, ist als Lüroth-Problem bekannt. Im Allgemeinen ist das nicht der Fall. Ein Überblick über Teilergebnisse und Gegenbeispiele findet sich in dem unten zitierten Buch Basic Algebra II von Nathan Jacobson.