Satz von Lindemann-Weierstraß

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Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Resultat über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien paarweise verschiedene algebraische Zahlen und seien beliebige algebraische Zahlen, wobei nicht alle seien. Dann gilt:

.

Diesen sehr allgemeinen Satz bewies von Lindemann, um die deutlich schwächeren Resultate der Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl zu zeigen. In den 1960er Jahren wurde von Stephen Schanuel eine Verallgemeinerung dieses Satzes als Vermutung formuliert, siehe Vermutung von Schanuel.

Kurze Zeit nach dem Beweis des Satzes von Lindemann-Weierstraß legte David Hilbert einen deutlich vereinfachten Beweis für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen und vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lässt.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Ergebnisse folgen direkt aus dem obigen Satz.

Transzendenz von e[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wäre eine algebraische Zahl, so existierten nicht allesamt null, so dass

was ein offensichtlicher Widerspruch zum obigen Ergebnis wäre.

Transzendenz von π[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Transzendenz der Kreiszahl zu zeigen, nehmen wir zunächst an, dass eine algebraische Zahl ist. Da die Menge der algebraischen Zahlen einen Körper bildet, müsste auch algebraisch sein ( bezeichnet hier die imaginäre Einheit).

Wählen wir nun und , , so erhalten wir mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß und der eulerschen Identität den Widerspruch

Dies zeigt, dass unsere Annahme falsch war, die Kreiszahl muss also transzendent sein.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ferdinand Lindemann: Über die Zahl . In: Mathematische Annalen 20 (1882), S. 213 - 225.
  • David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und . In: Mathematische Annalen 43 (1893), S. 216 - 219.