Satz von Lindemann-Weierstraß

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Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Resultat über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine (endliche) Menge algebraischer Zahlen gegeben, so sind die Bilder dieser Zahlen unter der Exponentialfunktion linear unabhängig über dem Körper der algebraischen Zahlen.

Diesen sehr allgemeinen Satz bewies von Lindemann, um die deutlich schwächeren Resultate der Transzendenz der eulerschen Zahl und der Kreiszahl zu zeigen. In den 1960er Jahren wurde von Stephen Schanuel eine Verallgemeinerung dieses Satzes als Vermutung formuliert, siehe Vermutung von Schanuel.

Kurze Zeit nach dem Beweis des Satzes von Lindemann-Weierstraß legte David Hilbert einen deutlich vereinfachten Beweis für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen und vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lässt.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Ergebnisse folgen direkt aus dem obigen Satz.

Transzendenz von e[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wäre eine algebraische Zahl, so wäre Nullstelle eines normierten Polynoms mit rationalen Koeffizienten. Es gäbe also rationale Zahlen , so dass

.

Damit wären die ersten Potenzen von e linear abhängig über (und damit auch über ) im Widerspruch zum Satz von Lindemann-Weierstraß.

Transzendenz von π[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Transzendenz der Kreiszahl zu zeigen, nehmen wir zunächst an, dass eine algebraische Zahl ist. Da die Menge der algebraischen Zahlen einen Körper bildet, müsste auch algebraisch sein ( bezeichnet hier die imaginäre Einheit). Nun ist aber

im Widerspruch zu linearen Unabhängigkeit von und .

Dies zeigt, dass unsere Annahme falsch war, die Kreiszahl muss also transzendent sein.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]