Lemniskate

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Schleifenlinie)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine Lemniskate (von griechisch λημνίσκος lēmnískos ‚Schleife‘) ist eine schleifenförmige geometrische Kurve in Form einer Acht. Meist ist mit „Lemniskate“ die Lemniskate von Bernoulli gemeint.

Lemniskate von Bernoulli[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lemniskate von Bernoulli
Hauptartikel: Lemniskate von Bernoulli

Die Lemniskate von Bernoulli (nach Jakob Bernoulli) ist eine algebraische Kurve vom Grad 4, sie hat die Gleichung

mit einem Parameter . In Polarkoordinaten wird sie durch die Gleichung

beschrieben.

Lemniskate von Booth[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lemniskate von Booth

Eine Lemniskate von Booth (nach James Booth) ist eine algebraische Kurve vom Grad 4, sie hat die Gleichung

mit .[1]

Für d = −c erhält man eine Lemniskate von Bernoulli.

Sie ist ein Sonderfall der Hippopede des Proklos (o. B. d. A. gilt und ):

für den Fall . Für hat man ovalförmige geschlossene Kurven, weshalb sie in diesem Fall Ovale von Booth heißen. Der Name Hippopede kommt aus dem Griechischen und hat seinen Ursprung darin, dass sie an eine Fußfessel für Pferde erinnern. Sie sind Sonderfälle der Spiralen des Perseus, die sich als Parallelschnitte durch einen Torus ergeben, wobei die Ebenen senkrecht auf der Achse in der Ebene des Torus stehen. Die Lemniskate ergibt sich, wenn die Ebene gerade den inneren Ring im Torus berührt.

Lemniskate von Gerono[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lemniskate von Gerono: Lösungsmenge von x4−x2+y2=0[2]

Die nach Camille-Christophe Gerono benannte Lemniskate von Gerono ist eine algebraische Kurve vom Grad 4 und Geschlecht 0, sie hat die Gleichung

Als Kurve vom Geschlecht 0 kann sie durch rationale Funktionen parametrisiert werden, beispielsweise durch:

Eine einfachere Parametrisierung ist die Parametrisierung als Lissajous-Figur:

Lawrence[3] gibt die etwas allgemeinere Gleichung an:

Diese hat die Parameterdarstellung:

mit .

Sie wird auch als Acht-Knoten (Eight knot) bezeichnet.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Lemniskate – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Französische Webseite zur Lemniskate von Booth
  2. Achtkurve.
  3. Lawrence: A catalog of special plane curves. Dover 1972, S. 124.