Stationäre Wavelet-Transformation

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Stationäre Wavelet-Transformation der Lena unter Verwendung des Haar-Wavelets

Die stationäre Wavelet-Transformation (SWT)[1] ist ein Wavelet-Transformationsalgorithmus, der die Verschiebungsvarianz der diskreten Wavelet-Transformation (DWT) beseitigen soll. Diese führt bei minimal verschobenen Signalen zu erheblich anderen Wavelet-Koeffizienten und nicht zu minimal verschobenen, aber ansonsten gleichen Koeffizienten.

Die stationäre Wavelet-Transformation stellt in der Signalanalyse bezüglich der Zeit- oder Ortsachse eine Alternative zur kontinuierlichen Wavelet-Transformation dar, ist aber skalendiskret.[2] Beispielsweise wird sie zur Kantendetektion eingesetzt.

Die Verschiebungsinvarianz wird durch das Entfernen von Up- und Downsampling-Schritten der DWT und Hinzufügen von Upsampling der Filter-Koeffizienten mit einem Faktor von auf der ten Skala des Algorithmus erreicht.[3] Die SWT ist ein inhärent redundantes Schema, da die Ausgabe auf jeder Skala der SWT die gleiche Anzahl an Samples enthält wie die Eingabe. Somit entsteht bei einer Zerlegung auf Skalen eine -fache Redundanz der Wavelet-Koeffizienten.

Der Algorithmus ist auch bekannt als "algorithme à trous" im Französischen (trous: Löcher), was sich auf die eingefügten Nullen in die Filterkoeffizienten bezieht. Er wurde von Holschneider et al. eingeführt.[4]

Implementierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das folgende Blockdiagramm stellt eine digitale Implementierung der SWT dar.

Eine 3-Skalen-SWT-Filterbank

In obigem Diagramm werden für jede Skala die Filter der vorherigen Skala verwendet, bei denen die Abtastrate erhöht wurde (Upsampling) (siehe nachfolgende Abbildung).

SWT-Filter

Anwendungsgebiete[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die SWT findet Anwendung in verschiedenen Bereichen, z. B. in

Synonyme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Idee, das Unterabtasten der diskreten Wavelet-Transformation auszulassen, ist hinreichend intuitiv, dass diese Variante verschiedene Male "erfunden" wurde, jeweils mit unterschiedlichen Namen.

  • stationäre Wavelet-Transformation (stationary wavelet transform)
  • redundante Wavelet-Transformation (redundant wavelet transform)
  • Algorithme à trous
  • quasi-kontinuierliche Wavelet-Transformation (quasi-continuous wavelet transform)
  • verschiebungsinvariante Wavelet-Transformation (shift-invariant wavelet transform)
  • translationsinvariante Wavelet-Transformation (translation-invariant wavelet transform)
  • Wavelet-Transformation mit maximaler Überlappung (maximal overlap wavelet transform, MODWT)
  • Undecimated wavelet transform (UWT)
  • Cycle spinning

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. James E. Fowler: The Redundant Discrete Wavelet Transform and Additive Noise, enthält einen Überblick über die verschiedenen Namen für diese Transformation.
  2. W. Bäni: Wavelets: Eine Einführung für Ingenieure. Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2005
  3. Mark J. Shensa, The Discrete Wavelet Transform: Wedding the A Trous and Mallat Algorithms, IEEE Transaction on Signal Processing, Vol 40, No 10, Oct. 1992.
  4. M. Holschneider, R. Kronland-Martinet, J. Morlet and P. Tchamitchian. A real-time algorithm for signal analysis with the help of the wavelet transform. In Wavelets, Time-Frequency Methods and Phase Space, pp. 289–297. Springer-Verlag, 1989.