Stieltjes-Konstanten

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Die Stieltjes-Konstanten sind eine Folge reeller Zahlen, die durch folgenden Grenzwert definiert sind:

wobei die Eulersche Konstante ist. Es wird vermutet, dass die irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion

und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:

Sie hängen eng mit den Zahlen

zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion

und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:

Aus der Rekursion ergibt sich für n=1 die Identität , d. h. für die Eulersche Konstante die alternierende Reihe

die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.

Die Folge zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist das

gilt.

Numerische Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

n Dezimalentwicklung von γn OEIS
0 0,577215664901532860606512090082 ... A001620
1 -0,0728158454836767248605863758749 ... A082633
2 -0,00969036319287231848453038603521 ... A086279
3 0,00205383442030334586616004654275 ... A086280
4 0,00232537006546730005746817017752 ... A086281
5 0,000793323817301062701753334877444 ... A086282
6 -0,000238769345430199609872421841908 ... A183141
7 -0,000527289567057751046074097505478 ... A183167
8 -0,000352123353803039509602052165001 ... A183206
9 -0,000034394774418088048177914623798 ... A184853
10 0,000205332814909064794683722289237 ... A184854

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rick Kreminski. Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes (generalized Euler) constants. Mathematics of Computation, V.72, No 243, p. 1379–1397, 2003
  • Charles Knessl and Mark W, Coffey, An effective asymptotic formula for the Stieltjes Constants, Math. of Comp., V.80, No 273, p. 379-386, 2010

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]