Transversalitätssatz

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Der Transversalitätssatz ist ein auf René Thom zurückgehender Satz der Differentialtopologie, der die Grundlage für zahlreiche topologische Konstruktionen wie zum Beispiel die Pontrjagin-Thom-Konstruktion, die Kobordismustheorie, Chirurgietheorie sowie die Definition von Schnittzahlen und Verschlingungszahlen bildet.

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und eine Untermannigfaltigkeit von . Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion (und jeder Metrik auf ) eine -Approximation von , die transversal zu ist.[1]

Erläuterungen: Eine differenzierbare Abbildung ist transversal zur Untermannigfaltigkeit , wenn

gilt. (Insbesondere auch wenn .) Eine Abbildung ist eine δ-Approximation von falls

gilt. Für hinreichend kleine ist jede δ-Approximation homotop zu . Insbesondere folgt aus dem Transversalitätssatz also die Existenz einer zu homotopen Abbildung, die transversal zu ist. Zu jedem gibt es ein , so dass es zu jeder δ-Approximation von eine Homotopie zwischen und gibt, bei der für jedes die Abbildung eine ε-Approximation von ist.[2]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist nicht transversal zur x-Achse, jedoch ist für jedes die Abbildung transversal zur x-Achse.
  • Falls , dann folgt aus dem Transversalitätssatz, dass es zu jeder Abbildung eine δ-Approximation gibt, deren Bild disjunkt zu ist.

Relative Version und Homotopietransversalitätssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und eine Untermannigfaltigkeit von . Sei eine Untermannigfaltigkeit von und die Einschränkung sei transversal zu . Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion (und jeder Metrik auf ) eine -Approximation von , die transversal zu ist und auf mit übereinstimmt.

Als einen Spezialfall erhält man den Homotopietransversalitätssatz:

Seien differenzierbare Mannigfaltigkeiten und eine Untermannigfaltigkeit von . Sei eine differenzierbare Abbildung, für die und transversal zu sind. Dann gibt es eine Abbildung , die transversal zu ist und auf bzw. mit bzw. übereinstimmt.

In Worten: wenn zwei transversale Abbildungen homotop sind, dann gibt es auch eine transversale Homotopie.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. René Thom: Un lemme sur les applications différentiables. In: Boletin de la Sociedad Matemática Mexicana/2. Serie, Bd. 1 (1956), pp. 59–71, ISSN 0037-8615.
  2. Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie (Lecture Notes in Mathematics; Bd. 178). Springer Verlag, Berlin 1970, ISBN 3-540-05341-7.