Unimodale Abbildung

Die Abbildung $f(x)=1-x^{2}$ hat ein eindeutiges Maximum in $x=0$.

Eine unimodale Abbildung oder unimodale Funktion ist in der Mathematik eine Funktion mit einem eindeutigen (lokalen und globalen) Maximum wie zum Beispiel $f(x)=-x^{2}$.

Definition

Die präzise Definition lautet wie folgt:

Eine Abbildung $f\colon I\to I$ eines Intervalls $I\subset \mathbb {R}$ in sich mit $f(\partial I)\subset \partial I$ ist unimodal, wenn es ein $m\in I$ gibt, so dass $f(x)$ für $x\leq m$ streng monoton wachsend und für $x\geq m$ streng monoton fallend ist.

Aus der Definition folgt, dass $f(m)$ der maximale Funktionswert von $f$ ist und dass $f$ neben $m$ keine weiteren lokalen Maxima besitzt.

Beispiele

• Eine quadratische Funktion $f(x)=ax^{2}+bx+c$ mit $a<0$ ist unimodal.
• Die Entropie in der Informationstheorie ist unimodal.
• Das Negative der Betragsfunktion ist unimodal.
• Die Zeltabbildung ist unimodal.

Literatur

• Anušić: Dynamics of unimodal interval maps
• Bruin: Combinatorics of (Fibonacci-like) unimodal maps