Woldsche Zerlegung

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Die Woldsche Zerlegung bezeichnet eine spezielle Zerlegung in der Zeitreihenanalyse, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Die Zerlegung ist nach Herman Wold benannt, der 1938 zeigte, dass die Zufallsvariablen eines zeitdiskreten kovarianzstationären, stochastischen Prozesses in zwei Teile zerlegt werden können:

  • in einen deterministischen, also nicht zufälligen Anteil und
  • in einen rein nichtdeterministische Anteil, der durch Glättung von Zufallsvariablen entsteht:

Die Zufallsvariablen haben den Erwartungswert null und eine konstante Varianz und sind paarweise unkorreliert:

und

Die Glättungsfolge der ist

  • möglicherweise unendlich lang (kann aber auch endlich sein)
  • quadratisch beschränkt:
  • „kausal“ (es gibt keine Terme )
  • die sind konstant (also unabhängig von der Zeit )

Üblicherweise wird gesetzt:

Rein nichtdeterministisch bedeutet, dass alle linearen deterministischen Komponenten von zuvor abgezogen wurden. Eine solche Zeitreihe wird auch weißes Rauschen genannt. Eine lineare deterministische Komponente wie kann aufgrund ihrer eigenen vergangenen Werte perfekt vorhergesagt werden. Dies gilt zum Beispiel für einen konstanten Mittelwert, periodische, polynomiale oder exponentielle Folgen in den Zeitpunkten .

Die geforderte quadratische Konvergenz der Reihe der garantiert die Existenz der zweiten Momente des Prozesses. Für die Gültigkeit dieser Zerlegung müssen keine Verteilungsannahmen getroffen werden und muss nicht unabhängig sein; es genügt Unkorreliertheit.

Für den Erwartungswert erhält man

das heißt, es gilt:

Die Varianz berechnet sich folgendermaßen:

Wegen für vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

Die Varianz ist somit endlich und zeitunabhängig. Entsprechend erhält man mit die Autokovarianzen

mit . Man sieht, dass die Autokovarianzen nur eine Funktion der Zeitdifferenz sind. Somit sind alle Bedingungen für die Kovarianzstationarität erfüllt. Die Autokorrelationsfunktion lässt sich wie folgt schreiben:

Beispielsweise lassen sich ARMA-Modelle in die Woldsche Darstellung bringen. Diese Darstellung ist eher von theoretischem Interesse, denn in praktischen Anwendungen sind Modelle mit unendlich vielen Parametern unbrauchbar.

Wold-Zerlegung in der Funktionalanalysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt auch eine Wold’sche Zerlegung in der Funktionalanalysis, siehe Shiftoperator.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Herman Wold A Study in the Analysis of Stationary Time Series, Stockholm: Almquist und Wicksell 1938
  • Gerhard Kirchgässner, Jürgen Wolters: Einführung in die moderne Zeitreihenanalyse, 1. Auflage, München: Vahlen, 2006, ISBN 978-3-800-63268-8, S.19f

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]