Zerfallsgesetz

Exponentielle Abnahme einer Größe vom anfängliches Wert N – z. B. der Zahl radioaktiver Atomkerne in einer gegebenen Substanzprobe – mit der Zeit t.

Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl $N$ der zu einem Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe an. Diese Anzahl beträgt

$N(t)=N_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda t}$,

wobei $N_{0}$ die Anzahl der am Anfang ($t=0$) vorhandenen Atomkerne und $\lambda$ die Zerfallskonstante des betreffenden Nuklids ist.

Herleitung

Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich $N_{0}$ Atomkernen und der Aktivität $A$, so gilt für die Anzahl $N$ der in der Zeit $t$ noch nicht zerfallenen Kerne:

${\begin{aligned}A&=-{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\qquad {\text{mit }}A=\lambda \cdot N\\-\lambda \cdot N&={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\\-\lambda \cdot \mathrm {d} t&={\frac {1}{N}}\cdot \mathrm {d} N\\\int _{0}^{t}-\lambda \cdot \mathrm {d} t'&=\int _{N_{0}}^{N}{\frac {1}{N'}}\cdot \mathrm {d} N'\\-\lambda t-(-\lambda \cdot 0)&=\ln(N)-\ln(N_{0})\\-\lambda t&=\ln \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\\\mathrm {e} ^{-\lambda t}&={\frac {N}{N_{0}}}\\N(t)&=N_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda t}\end{aligned}}$

Nach der Zeit $t$ sind also von $N_{0}$ Ausgangskernen noch $N(t)$ übrig.

Mittlere Lebensdauer

Die Zerfallskonstante $\lambda$ (Lambda) ist der Kehrwert der mittleren Lebensdauer $\tau =1/\lambda$, also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor $\mathrm {e} =2{,}71828\dotso$ verringert hat. $\tau$ (Tau) unterscheidet sich von der Halbwertszeit $T_{1/2}$ nur um den konstanten Faktor $\ln 2$:

$T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \cdot \ln 2\approx 0{,}693\cdot \tau$

Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:

$N(t)=N_{0}\cdot e^{-{\frac {\ln(2)}{T_{1/2}}}t}$

Weblinks

• Java-Animation des Zerfallsgesetzes