Übergangshalbgruppe

In der Theorie der stochastischen Prozesse wird das zeitliche Veränderungsverhalten von Markow-Prozessen durch Abbildungen $P^{t}$ (mit Zeitparameter $t\geq 0$) beschrieben, die eine sogenannte Übergangshalbgruppe bilden, genauer einen Halbgruppenhomomorphismus. Die Veränderung im Zeitintervall $[0,s+t]$ lässt sich zerlegen in die Veränderung während $[0,s]$ und die Veränderung während $[s,s+t].$ ($\circ$ bezeichne die Hintereinanderausführung.)

$\forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad P^{[0,s]}\circ P^{[s,s+t]}=P^{[0,s+t]}$.

Bei zeitlich homogenen Prozessen ist die Veränderung $P^{[s,s+t]}$ unabhängig von $s$ und hängt nur von der Länge $t$ des Intervalls ab. In der Schreibweise $P^{t}:=P^{[0,t]}(=P^{[s,s+t]})$ hat $(P_{t})$ folgende Eigenschaft:

$\forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad P^{t}\circ P^{s}=P^{s+t}$.

Die Komposition von solchen die Veränderung während der Zeit $s$ beschreibenden Abbildungen $P^{s}$ ist also verträglich mit der Addition des Zeitparameters. Mit anderen Worten, $P$ ist ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen der von Zeitparameter und der Additionsoperation gebildeten Halbgruppe $([0,\infty ),+)$ und der Halbgruppe $((P^{s})_{s\geq 0},\circ )$ (Transformationshalbgruppe).

In abkürzender Sprechweise spricht man schlicht von einer Halbgruppe und bezeichnet als Übergangshalbgruppe die von den Übergangskernen eines zeithomogenen Markow-Prozesses gebildete. Die Verträglichkeit der Addition im Zeitparameter und die Hintereinanderausführung von Kernen wird durch die Chapman-Kolmogorow-Gleichungen beschrieben. Die Definition der Übergangshalbgruppe macht es auf diese Weise möglich, Erkenntnisse der Halbgruppentheorie auf Markow-Prozesse anzuwenden.

Übergangshalbgruppen definieren einen Markow-Operator.

Mathematische Definition (in stetiger Zeit)

Sei $(M_{t})_{t\geq 0}$ ein zeitlich homogener Markow-Prozess in stetiger Zeit auf einem Zustandsraum $(E,{\mathcal {E}})$. Der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ und $\mathbb {E}$ bezeichne den Erwartungswert bzgl. $\mathbb {P}$.

Für alle $x\in E$ sei $\mathbb {P} _{x}(\cdot ):=\mathbb {P} (\cdot \mid M_{0}=x)$ und entsprechend $\mathbb {E} _{x}(\cdot ):=\mathbb {E} (\cdot \mid M_{0}=x)$ definiert.

Seien $(P^{t})_{t\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ die Übergangskerne. Dann gilt

$\forall \,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}\ \forall \,x\in E\ \forall \,A\in {\mathcal {E}}:\quad P^{t}(x,A)=\mathbb {P} _{x}(M_{t}\in A)$

Mit der Markov-Eigenschaft gilt dann die nun folgende Chapman-Kolmogorow-Gleichung

$\forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}\ \forall \,x\in E\ \forall \,A\in {\mathcal {E}}:\quad P^{t+s}(x,A)=\mathbb {E} _{x}\mathbb {P} \left(M_{s+t}\in A\mid {\mathcal {F}}_{s}\right)=\mathbb {E} _{x}P^{t}(M_{s},A)=\int P^{t}(y,A)P^{s}(x,dy)\,,$

die man in Operator-Notation kurz zusammenfasst als

$\forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad P^{t+s}=P^{t}P^{s}.$

Die $(P^{t})_{t\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ bilden somit eine Halbgruppe, die als Übergangshalbgruppe bezeichnet wird. Über die topologischen Eigenschaften von $(P^{t})_{t\geq 0}$ ist damit noch nichts gesagt, deswegen werden meist zusätzliche Forderungen an den Markow-Prozess gemacht, so dass $(P^{t})_{t\geq 0}$ in gewisser Hinsicht stetig ist – zum Beispiel im Falle der Feller-Prozesse, wobei $(P^{t})_{t\geq 0}$ eine stark stetige Halbgruppe auf $C_{0}$ darstellt.

Quellen

• Sören Asmussen: Applied Probability and Queues. 2. Auflage, Springer-Verlag, New-York 2003, ISBN 0387002111