„Diagonaldominante Matrix“ – Versionsunterschied
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'''Diagonaldominante Matrizen''' bezeichnen in der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] eine Klasse von quadratischen [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit einer zusätzlichen Bedingung an ihre [[Diagonale (Lineare Algebra)|Diagonalelemente]]. Der alleinstehende Begriff ''diagonaldominant'' wird in der Literatur uneinheitlich mal für ''strikt diagonaldominant'' und mal für ''schwach diagonaldominant'' verwendet.<ref name=Kanzow142143>{{Literatur | Autor = Christian Kanzow | Titel = Numerik linearer Gleichungssysteme | Jahr = 2005 | Verlag = New York : Springer | Ort = Berlin | ISBN = 3-540-20654-X | Seiten = 142–143 }}</ref><ref>{{Literatur | Autor = Christian Voigt | Titel = Formelsammlung der Matrizenrechnung / |
'''Diagonaldominante Matrizen''' bezeichnen in der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] eine Klasse von quadratischen [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit einer zusätzlichen Bedingung an ihre [[Diagonale (Lineare Algebra)|Diagonalelemente]]. Der alleinstehende Begriff ''diagonaldominant'' wird in der Literatur uneinheitlich mal für ''strikt diagonaldominant'' und mal für ''schwach diagonaldominant'' verwendet.<ref name=Kanzow142143>{{Literatur | Autor = Christian Kanzow | Titel = Numerik linearer Gleichungssysteme | Jahr = 2005 | Verlag = New York : Springer | Ort = Berlin | ISBN = 3-540-20654-X | Seiten = 142–143 }}</ref><ref>{{Literatur | Autor = Christian Voigt, Jürgen Adamy | Titel = Formelsammlung der Matrizenrechnung | Jahr = 2007 | Verlag = Oldenbourg | Ort = München | ISBN = 978-3-486-58350-2 | Seiten = 81}}</ref><ref>{{Literatur | Autor = Hans-Rudolf Schwarz, Norbert Köckler | Titel = Numerische Mathematik [Elektronische Ressource] | Jahr = 2009 | Verlag = Vieweg+Teubner | Ort = Wiesbaden | ISBN = 978-3-8348-9282-9 | Seiten = }}</ref> Im Folgenden werden beide Begriffe näher erläutert. |
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== Strikt diagonaldominante Matrix == |
== Strikt diagonaldominante Matrix == |
Version vom 2. Mai 2013, 20:21 Uhr
Diagonaldominante Matrizen bezeichnen in der numerischen Mathematik eine Klasse von quadratischen Matrizen mit einer zusätzlichen Bedingung an ihre Diagonalelemente. Der alleinstehende Begriff diagonaldominant wird in der Literatur uneinheitlich mal für strikt diagonaldominant und mal für schwach diagonaldominant verwendet.[1][2][3] Im Folgenden werden beide Begriffe näher erläutert.
Strikt diagonaldominante Matrix
Definition
Eine -Matrix heißt strikt (auch: streng oder stark) diagonaldominant, falls die Beträge ihrer Diagonalelemente jeweils größer sind als die Summe der Beträge der restlichen jeweiligen Zeileneinträge , d.h. wenn für alle gilt[4]
- .
Dieses Kriterium wird auch als starkes Zeilensummenkriterium bezeichnet und ist nicht äquivalent zu dem entsprechenden Spaltensummenkriterium, jedoch nach Definition äquivalent zum Spaltensummenkriterium der transponierten Matrix.
Anwendungen
Komplexe, strikt diagonaldominante Matrizen sind aufgrund der Gerschgorin-Kreise regulär, ebenso die aus ihnen durch Nullsetzen bestimmter Einträge gewonnenen oberen und unteren Dreiecksmatrizen. Bei einigen Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen (z. B. Gauß-Seidel-, Jacobi- oder SOR-Verfahren) bietet die Diagonaldominanz der Systemmatrix, insbesondere die letztgenannte Eigenschaft, ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz des Verfahrens.
Schwach diagonaldominante Matrizen
Definition
Eine -Matrix heißt schwach diagonaldominant, falls die Beträge ihrer Diagonalelemente jeweils größer oder gleich der Summe der Beträge der restlichen jeweiligen Zeileneinträge sind, d.h. wenn für alle gilt[1]
- .
Eigenschaften
- Die Menge der schwach diagonaldominanten Matrizen umfasst also die Menge der strikt diagonaldominanten Matrizen.
- Reelle, symmetrische, schwach diagonaldominante Matrizen mit nichtnegativen Diagonaleinträgen sind positiv semidefinit.
Irreduzibel diagonaldominante Matrix
In der Numerik partieller Differenzialgleichungen wird zudem für Stabilitätsbetrachtungen ein weiterer Begriff verwendet:
Eine -Matrix heißt irreduzibel diagonaldominant, wenn sie irreduzibel und schwach diagonaldominant ist und für mindestens ein die Ungleichung
gilt.[5]
Einzelnachweise
- ↑ a b Christian Kanzow: Numerik linearer Gleichungssysteme. New York : Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-20654-X, S. 142–143.
- ↑ Christian Voigt, Jürgen Adamy: Formelsammlung der Matrizenrechnung. Oldenbourg, München 2007, ISBN 978-3-486-58350-2, S. 81.
- ↑ Hans-Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik [Elektronische Ressource]. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-9282-9.
- ↑ Josef Stoer, Roland Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, Springer Verlag 3. Auflage 2002, Theorem 8.2.6.
- ↑ Josef Stoer, Roland Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, Springer Verlag 3. Auflage 2002, Theorem 8.2.9.