Jacobi-Verfahren

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Dieser Artikel behandelt das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Für das gleichnamige Verfahren zur Eigenwertberechnung, siehe Jacobi-Verfahren (Eigenwerte).

In der numerischen Mathematik ist das Jacobi-Verfahren, auch Gesamtschrittverfahren genannt, ein Algorithmus zur näherungsweisen Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax=b. Es ist, wie das Gauß-Seidel-Verfahren und das SOR-Verfahren, ein spezielles Splitting-Verfahren. Benannt ist es nach Carl Gustav Jakob Jacobi.

Entwickelt wurde das Verfahren, da das Gaußsche Eliminationsverfahren zwar eine exakte Lösungsvorschrift darstellt, sich jedoch für Rechenfehler sehr anfällig zeigt. Eine iterative Vorgehensweise hat diesen Nachteil typischerweise nicht.

Beschreibung des Verfahrens[Bearbeiten]

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen mit n Gleichungen.


\begin{matrix}
a_{11}\cdot x_1+\dots+a_{1n}\cdot x_n&=&b_1\\
a_{21}\cdot x_1+\dots+a_{2n}\cdot x_n&=&b_2\\
&\vdots&\\
a_{n1}\cdot x_1+\dots+a_{nn}\cdot x_n&=&b_n\\
\end{matrix}

Um dieses zu lösen, wird die i-te Gleichung nach der i-ten Variablen x_i aufgelöst,

x_i^{(m+1)}:=\frac1{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\not=i} a_{ij}\cdot x_j^{(m)}\right), \, i=1,...,n

und diese Ersetzung, ausgehend von einem Startvektor x^{(0)}, iterativ wiederholt. Als Bedingung für die Durchführbarkeit ergibt sich, dass die Diagonalelemente a_{ii} von Null verschieden sein müssen. Da die Berechnung einer Komponente der nächsten Näherung unabhängig von den anderen Komponenten ist, ist das Verfahren, im Gegensatz zum Gauß-Seidel-Verfahren, zur Nutzung auf Parallelrechnern geeignet.

Als Algorithmusskizze mit c Iterationen und n Zeilen bzw. Spalten ergibt sich:

Gegeben Startvektor x^{alt}
für m=1,... bis Erfüllung eines Abbruchkriteriums
  x=b
  für i=1 bis n
       für j=1 bis n
         falls j \not= i
            x_i=x_i-a_{ij}x_j^{alt};
       ende
       x_i=x_i/a_{ii};
  ende
  x^{alt}=x;
ende

Dabei wurde die willkürliche Erstbelegung des Variablenvektors als Eingangsgrößen des Algorithmus angenommen, die Näherungslösung ist die vektorielle Rückgabegröße.

Bei dünnbesetzten Matrizen reduziert sich der Aufwand des Verfahrens pro Iteration deutlich.

Beschreibung in Matrixschreibweise[Bearbeiten]

Die Matrix A des linearen Gleichungssystems A \cdot x = b wird hierzu in eine Diagonalmatrix D, eine strikte untere Dreiecksmatrix L und eine strikte obere Dreiecksmatrix U zerlegt, so dass gilt:

A= L+D+U.

Die obige komponentenweise Iterationsvorschrift lässt sich dann folgendermaßen für den kompletten Vektor darstellen:

x^{(m+1)} = D^{-1} \left( b - \left(L + U\right) x^{(m)} \right).

Konvergenzuntersuchung[Bearbeiten]

Die Konvergenz wird wie bei allen Splitting-Verfahren mittels des banachschen Fixpunktsatzes untersucht. Das Verfahren konvergiert also, wenn der Spektralradius der Iterationsmatrix D^{-1}(D-A) kleiner als eins ist. Insbesondere ergibt sich dies, wenn die Systemmatrix A strikt diagonaldominant ist.

Erweiterung auf nichtlineare Gleichungssysteme[Bearbeiten]

Die Idee des Jacobi-Verfahrens lässt sich auf nichtlineare Gleichungssysteme f(x)=g mit einer mehrdimensionalen nichtlinearen Funktion f erweitern. Wie im linearen Fall wird im i-ten Schritt die i-te Gleichung bezüglich der i-ten Variablen gelöst, wobei für die anderen Variablen der bisherige Näherungswert genommen wird:

Für k=1,... bis Erfüllung eines Abbruchkriteriums
Für i=1,...,n:
Löse f_i(x_1^k,\ldots, x^k_{i-1},x_i^{k+1},x_{i+1}^k,...,x_n^k) nach x_i^{k+1}.

Hierbei ist das Lösen in der Regel als die Anwendung eines weiteren iterativen Verfahrens zur Lösung nichtlinearer Gleichungen zu verstehen. Um dieses Verfahren vom Jacobi-Verfahren für lineare Gleichungssysteme zu unterscheiden, wird häufig vom Jacobi-Prozess gesprochen. Die Konvergenz des Prozesses folgt aus dem Banachschen Fixpunktsatz wieder als linear.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]