„Hypograph“ – Versionsunterschied

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Version vom 11. November 2013, 18:40 Uhr

In der Mathematik bezeichnet der Hypograph einer reellwertigen Funktion $f$ die Menge aller Punkte, die auf oder unter ihrem Graphen liegen.

Definition

Sei $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ . Der Hypograph der Funktion $f\colon X\to \mathbb {R}$ ist definiert durch^[1]

\mathrm {hypo} \,(f):=\left\{(x,\mu )\in X\times \mathbb {R} \,:\,\mu \leq f(x)\right\}\subseteq X\times \mathbb {R} \,.

Eigenschaften

Sei $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ . Für Funktionen $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ gilt:

$f$ ist genau dann konkav, wenn der Hypograph von $f$ eine konvexe Menge bildet.
$f$ ist genau dann oberhalbstetig, wenn der Hypograph von $f$ eine abgeschlossene Menge bildet.
Ist $f$ eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Hypograph einen Halbraum in $X$ .

Einzelnachweise

↑ Wilhelm Rödder, Peter Zörnig: Wirtschaftsmathematik für Studium und Praxis 3 - Analysis II. Springer, 1997, ISBN 978-3-540-61716-7, S. 55.

[1] Wilhelm Rödder, Peter Zörnig: Wirtschaftsmathematik für Studium und Praxis 3 - Analysis II. Springer, 1997, ISBN 978-3-540-61716-7, S. 55.

[1]

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-In der [[Mathematik]] bezeichnet der '''Hypograph''' einer reellwertigen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f : X \rightarrow \mathbb{R}</math> die Menge aller Punkte, die auf oder unter ihrem [[Funktionsgraph|Graphen]] liegen.
+In der [[Mathematik]] bezeichnet der '''Hypograph''' einer reellwertigen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f</math> die Menge aller Punkte, die auf oder unter ihrem [[Funktionsgraph|Graphen]] liegen.
+== Definition ==
-: <math>\mathrm{hypo}\, f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R} \, : \, \mu\le f(x) \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}</math>
+Sei <math>X \subset \R^n</math>. Der Hypograph der Funktion <math>f \colon X \to \R</math> ist definiert durch<ref>{{Literatur
+ | Autor=Wilhelm Rödder, Peter Zörnig
+ | Titel=Wirtschaftsmathematik für Studium und Praxis 3 - Analysis II
+ | Verlag=Springer
+ | Ort=
+ | Jahr=1997
+ | ISBN=978-3-540-61716-7
+ | Seiten=55
+}}</ref>
+: <math>\mathrm{hypo}\, (f) := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R} \, : \, \mu\le f(x) \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}\,.</math>
 == Eigenschaften ==
-Sei <math>X</math> ein normierter <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum. Für Funktionen <math>f : X \rightarrow \mathbb{R}</math> gilt:
+Sei <math>X \subset \R^n</math>. Für Funktionen <math>f \colon X \rightarrow \mathbb{R}</math> gilt:
 * <math>f</math> ist genau dann [[Konvexe und konkave Funktionen|konkav]], wenn der Hypograph von <math>f</math> eine konvexe Menge bildet.
 * <math>f</math> ist genau dann [[Halbstetigkeit|oberhalbstetig]], wenn der Hypograph von <math>f</math> eine abgeschlossene Menge bildet.
 * Ist <math>f</math> eine [[Affine Abbildung|affin-lineare]] Funktion, dann definiert ihr Hypograph einen [[Halbraum]] in <math>X</math>.
+== Einzelnachweise ==
+<references />
 [[Kategorie:Analysis]]

„Hypograph“ – Versionsunterschied

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Definition

Eigenschaften

Einzelnachweise

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