Achsenabschnittsform

Die Achsenabschnittsform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Bei der Achsenabschnittsform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum über ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen beschrieben. Diese Schnittpunkte werden auch Spurpunkte genannt, ihre Verbindungsstrecken liegen bei einer Ebene allgemein auf den Spurgeraden und bilden das Spurdreieck. Bei der Achsenabschnittsform handelt sich um eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene. Sie ist nicht definiert, wenn die Gerade oder Ebene durch den Koordinatenursprung verläuft.

Achsenabschnittsform einer Geradengleichung

Achsenabschnittsform einer Geradengleichung

Darstellung

In der Achsenabschnittsform wird eine Gerade $g$ in der Ebene durch zwei reelle Zahlen $a$ und $b$ folgendermaßen über eine lineare Gleichung beschrieben:

$g=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1\}$.

Alle Punkte, deren Koordinaten $(x,y)$ die Gleichung erfüllen, liegen auf der Gerade. Hierbei sind $(x_{0},0)$ und $(0,y_{0})$ die Schnittpunkte der Gerade mit den beiden Koordinatenachsen, die auch als Spurpunkte bezeichnet werden. Verläuft die Gerade parallel zu einer der Koordinatenachsen, dann fällt der jeweilige Spurpunkt und damit auch der entsprechende Term in der Achsenabschnittsform weg. Die Achsenabschnittsform ist nicht definiert, wenn die Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft.

Beispiel

Ein Beispiel für eine Geradengleichung in Achsenabschnittsform ist

$-{\frac {x}{4}}+{\frac {y}{2}}=1$

Jede Wahl von $(x,y)$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise $(-2,1)$ oder $(2,3)$, entspricht genau einem Geradenpunkt. Die beiden Spurpunkte der Geraden sind $(-4,0)$ und $(0,2)$.

Berechnung

Aus der Koordinatenform

Aus der Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern $a,b$ und $c$ lassen sich die Parameter der Achsenabschittsform mittels Division durch $c$ direkt angeben:

$x_{0}={\frac {a}{c}},~y_{0}={\frac {b}{c}}$.

Aus der Normalenform

Aus der Normalenform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$ lassen sich die Parameter der Achsenabschnittsform durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung und anschließende Division durch den konstanten Term ablesen:

$x_{0}={\frac {n_{1}}{c}},~y_{0}={\frac {n_{2}}{c}}$   mit $c=p_{1}n_{1}+p_{2}n_{2}$.

Liegt eine Gerade in hessescher Normalform vor, so entspricht der konstante Term $c$ gerade dem Abstand der Gerade vom Koordinatenursprung.

Aus der Parameterform

Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Richtungsvektor ${\vec {u}}$ wird zunächst ein Normalenvektor der Geraden über ${\vec {n}}=(-u_{2},u_{1})$ bestimmt und daraus dann die Parameter der Geraden in der Achsenabschnittsform wie bei der Normalenform. Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Zweipunkteform einer Geradengleichung ein Normalenvektor ermitteln und daraus dann die Achsenabschnittsform.

Achsenabschnittsform einer Ebenengleichung

Achsenabschnittsform einer Ebenengleichung

Darstellung

Analog wird eine Ebene $E$ im dreidimensionalen Raum in der Achsenabschnittsform durch drei reelle Zahlen $x_{0}$, $y_{0}$ und $z_{0}$ beschrieben:

$E=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}+{\frac {z}{z_{0}}}=1\}$.

Alle Punkte, deren Koordinaten $(x,y,z)$ die Gleichung erfüllen, liegen auf der Ebene. Hierbei sind $(x_{0},0,0)$, $(0,y_{0},0)$ und $(0,0,z_{0})$ die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Diese Achsenabschnitte werden wiederum Spurpunkte genannt, ihre Verbindungsstrecken liegen im Allgemeinfall auf den Spurgeraden und bilden das Spurdreieck. Verläuft die Ebene parallel zu einer oder zwei Koordinatenachsen, dann fallen die jeweiligen Spurpunkte und damit auch die entsprechenden Terme in der Achsenabschnittsform weg. Die Achsenabschnittsform ist nicht definiert, wenn die Ebene durch den Koordinatenursprung verläuft.

Beispiel

Ein Beispiel für eine Ebenengleichung in Achsenabschnittsform ist

${\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}-z=1$

Jede Wahl von $(x,y,z)$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise $(2,0,1)$ oder $(4,3,2)$, entspricht genau einem Ebenenpunkt. Die drei Spurpunkte der Ebene sind $(2,0,0)$, $(0,3,0)$ und $(0,0,-1)$.

Berechnung

Aus der Koordinatenform

Aus der Koordinatenform einer Ebenengleichung mit den Parametern $a,b,c$ und $d$ lassen sich die Parameter der Achsenabschittsform mittels Division durch $d$ direkt angeben:

$x_{0}={\frac {a}{d}},~y_{0}={\frac {b}{d}},~z_{0}={\frac {c}{d}}$.

Aus der Normalenform

Aus der Normalenform einer Ebenengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$ lassen sich die Parameter der Ebene in Achsenabschnittsform durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung und anschließende Division durch den konstanten Term ablesen:

$x_{0}={\frac {n_{1}}{d}},~y_{0}={\frac {n_{2}}{d}},~z_{0}={\frac {n_{3}}{d}}$   mit   $d=p_{1}n_{1}+p_{2}n_{2}+p_{3}n_{3}$.

Liegt eine Ebene in hessescher Normalform vor, so entspricht der konstante Term $d$ gerade dem Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung.

Aus der Parameterform

Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und den beiden Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ wird zunächst ein Normalenvektor der Ebene über das Kreuzprodukt ${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$ bestimmt und daraus dann die Parameter der Ebene in Achsenabschnittsform wie bei der Normalenform. Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung ein Normalenvektor ermitteln und daraus dann die Achsenabschnittsform.

Anwendung

Die Achsenabschnittsform wird beispielsweise in der Kristallographie bei den Millerschen Indizes zur Bezeichnung von Kristallflächen verwendet.

Literatur

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2762-5.