Kreuzprodukt

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Dieser Artikel befasst sich mit dem Produkt zweier Vektoren im Raum; für weitere Begriffe siehe Kreuzprodukt (Begriffsklärung).
Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) ist eine Verknüpfung im euklidischen Vektorraum, die im dreidimensionalen Fall zwei Vektoren wieder einen Vektor zuordnet. Um es von anderen Produkten, insbesondere vom Skalarprodukt, zu unterscheiden, wird es mit einem Malkreuz als Multiplikationszeichen geschrieben. Die Namen Kreuzprodukt und Vektorprodukt gehen auf den Physiker Josiah Willard Gibbs zurück, der Name äußeres Produkt wurde von dem Mathematiker Hermann Graßmann geprägt.[1]

Das Kreuzprodukt der Vektoren \vec a und \vec b ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet. Die Länge dieses Vektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren \vec a und \vec b aufgespannt wird.

In der Physik tritt das Kreuzprodukt beispielsweise bei der Berechnung der Lorentzkraft sowie in diversen Drehgrößen wie Drehmoment, Drehimpuls, Corioliskraft usw. auf.

Geometrische Definition[Bearbeiten]

Rechte-Hand-Regel

Das Kreuzprodukt \vec{a}\times\vec{b} von zwei Vektoren \vec a und \vec b im dreidimensionalen Anschauungsraum ist ein Vektor, der orthogonal zu \vec a und \vec b, und damit zu der von \vec a und \vec b aufgespannten Ebene ist.

Dieser Vektor ist so orientiert, dass \vec a, \vec b und \vec{a}\times\vec{b} in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, das heißt, \vec a, \vec b und \vec{a}\times\vec{b} verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und abgespreizter Mittelfinger der rechten Hand (Rechte-Hand-Regel).

Flächeninhalt Parallelogramm Kreuzprodukt.png

Der Betrag von \vec{a}\times\vec{b} gibt den Flächeninhalt des von \vec a und \vec b aufgespannten Parallelogramms an. Ausgedrückt durch den von \vec a und \vec b eingeschlossenen Winkel \theta gilt

|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\, |\vec{b}|\, \sin\theta \,.

Dabei bezeichnen \vert\vec{a}\vert und \vert\vec{b}\vert die Längen der Vektoren \vec{a} und \vec{b}, und \sin \theta\, ist der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \theta.

Zusammenfassend gilt also


  \vec{a}\times\vec{b}
  =
 (|\vec{a}|\, |\vec{b}|\,
  \sin\theta) \, \vec{n}\,,

wobei der Vektor \vec{n} derjenige zu \vec{a} und \vec{b} senkrechte Einheitsvektor ist, der diese zu einem Rechtssystem ergänzt.

Begriff und Schreibweisen[Bearbeiten]

In verschiedenen Ländern sind für das Vektorprodukt zum Teil verschiedene Schreibweisen gebräuchlich. Im englisch- und deutschsprachigen Raum wird für das Vektorprodukt zweier Vektoren \vec{a} und \vec{b} für gewöhnlich die Schreibweise \vec{a}\times\vec{b} verwendet, in Frankreich wird dagegen die Schreibweise \vec{a}\wedge\vec{b} bevorzugt. In Russland wird das Vektorprodukt oft in der Schreibweise \left[\vec{a}\ \vec{b}\right] oder \left[\vec{a},\vec{b}\right] notiert.

Die Schreibweise \vec{a}\wedge\vec{b} und die Bezeichnung äußeres Produkt werden nicht nur für das Vektorprodukt verwendet, sondern auch für die Verknüpfung, die zwei Vektoren einen sogenannten Bivektor zuordnet, siehe Graßmann-Algebra.

Komponentenweise Berechnung[Bearbeiten]

In rechtshändigen kartesischen Koordinaten bzw. im reellen Koordinatenraum \R^3 mit dem Standardskalarprodukt und der Standardorientierung gilt für das Kreuzprodukt:


  \vec{a}\times\vec{b}
  =
  \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}
  \times
  \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    a_2b_3 - a_3b_2 \\
    a_3b_1 - a_1b_3 \\
    a_1b_2 - a_2b_1
  \end{pmatrix}\,.

Ein Zahlenbeispiel:


  \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}
  \times
  \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    2 \cdot 9 -   3 \cdot 8 \\
    3 \cdot (-7) - 1 \cdot 9  \\
    1 \cdot 8 - 2 \cdot (-7)
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    -6 \\
    -30 \\
    22
  \end{pmatrix}\,.

Eine Merkregel für diese Formel beruht auf einer symbolischen Darstellung über die Determinante. Dabei notiert man eine (3 \times 3)-Matrix, in deren erster Spalte die Symbole \vec e_1, \vec e_2 und \vec e_3 für die Standardbasis stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors \vec a und die dritte von denen des Vektors \vec b gebildet. Diese Determinante berechnet man nach den üblichen Regeln, zum Beispiel indem man sie nach der ersten Spalte entwickelt

\begin{align}
  \vec a \times \vec b &=\det \begin{pmatrix}\vec e_1 & a_1 & b_1 \\ \vec e_2 & a_2 & b_2 \\ \vec e_3 & a_3 & b_3\end{pmatrix}\\
&= \vec e_1 \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} 
 - \vec e_2 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} 
 + \vec e_3 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \\
&= (a_2 \,b_3 - a_3 \, b_2) \, \vec e_1 + (a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3) \, \vec e_2 + (a_1 \, b_2 - \, a_2 \, b_1) \, \vec e_3 \,,
\end{align}

oder mit Hilfe der Regel von Sarrus:

\begin{align}
 \vec a \times \vec b &= \det \begin{pmatrix}\vec e_1 & a_1 & b_1 \\ \vec e_2 & a_2 & b_2 \\ \vec e_3 & a_3 & b_3\end{pmatrix}\\
  &= \vec e_1 \cdot a_2 \cdot b_3 + a_1 \cdot b_2 \cdot \vec e_3 + b_1 \cdot \vec e_2 \cdot a_3 \\
  &\quad - \vec e_3 \cdot a_2 \cdot b_1 - a_3 \cdot b_2 \cdot \vec e_1 - b_3 \cdot \vec e_2 \cdot a_1 \\
  &= (a_2 \,b_3 - a_3 \, b_2) \, \vec e_1 + (a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3) \, \vec e_2 + (a_1 \, b_2 - \, a_2 \, b_1) \, \vec e_3 \,.
\end{align}

Mit dem Levi-Civita-Symbol \varepsilon_{ijk} schreibt sich das Kreuzprodukt als

   \vec{a}\times\vec{b} = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_i b_j \vec e_k\,.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Bilinearität[Bearbeiten]

Das Kreuzprodukt ist bilinear,[2] das heißt, für alle Zahlen \alpha, \beta und \gamma und alle Vektoren \vec a, \vec b und \vec c gilt

\vec{a}\times(\beta \,\vec{b} + \gamma\, \vec{c}) = \beta \,(\vec{a}\times\vec{b}) + \gamma \,(\vec{a}\times\vec{c})\,,\  
(\alpha\,\vec{a} + \beta\,\vec{b})\times\vec{c} = \alpha\,(\vec{a}\times\vec{c}) + \beta \,(\vec{b}\times\vec{c})\,.

Alternierende Abbildung[Bearbeiten]

Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst oder einem kollinearen Vektor ergibt den Nullvektor

\vec{a}\times r\vec{a} = \vec{0}.

Bilineare Abbildungen, für die diese Gleichung gilt, werden alternierend genannt.[2]

Antikommutativität[Bearbeiten]

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ. Das heißt, bei Vertauschung der Vektoren wechselt es das Vorzeichen:[2]

\vec{a}\times\vec{b} = -\, \vec{b}\times\vec{a}\,.

Jacobi-Identität[Bearbeiten]

Außerdem gilt die Jacobi-Identität, das heißt die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte

\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) +\vec{b}\times \left(\vec{c}\times\vec{a}\right) +\vec{c}\times \left(\vec{a}\times\vec{b}\right) = 0

verschwindet.

Aufgrund dieser Eigenschaft und den zuvor gelisteten, bilden der \R^3 zusammen mit dem Kreuzprodukt eine Lie-Algebra.

Beziehung zur Determinante[Bearbeiten]

Für jeden Vektor \vec v gilt:

 \vec v \cdot (\vec a \times \vec b) =  \operatorname{det} (\vec v, \vec a, \vec b) .

Dabei bezeichnet der Malpunkt das Skalarprodukt. Durch diese Bedingung ist das Kreuzprodukt eindeutig bestimmt.[2]

Graßmann-Identität[Bearbeiten]

Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ. Die Graßmann-Identität (nach Hermann Graßmann), auch Graßmannscher Entwicklungssatz genannt, für das wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren lautet

\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \,\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\, \vec{c}\,,

wobei die Malpunkte das Skalarprodukt bezeichnen. In der Physik wird oft die Schreibweise

\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \vec{b} \,(\vec{a} \cdot \vec{c})  - \vec{c}\,(\vec{a} \cdot \vec{b}) \,,

verwendet. Nach dieser Darstellung wird die Formel auch BAC-CAB-Formel genannt.

Lagrange-Identität[Bearbeiten]

Für das Skalarprodukt von zwei Kreuzprodukten gilt[2]

\begin{align}
(\vec{a}\times\vec{b}) \cdot (\vec{c}\times\vec{d}) 
&= (\vec{a}\cdot\vec{c}) (\vec{b}\cdot\vec{d}) - (\vec{b}\cdot\vec{c}) (\vec{a}\cdot\vec{d})\\
&= \begin{vmatrix}(\vec{a}\cdot\vec{c}) & (\vec{a}\cdot\vec{d}) \\
                  (\vec{b}\cdot\vec{c}) & (\vec{b}\cdot\vec{d}) \end{vmatrix}.
\end{align}

Für das Quadrat der Norm erhält man hieraus

|\vec{a}\times\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 \, |\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2(1-\cos^2 \theta) = |\vec{a}|^ 2|\vec{b}|^2\sin^2 \theta,

also ist der Betrag des Kreuzproduktes

|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}| \, |\vec{b}|\, \sin \theta\,.

Da \theta, der Winkel zwischen \vec a und \vec b, immer zwischen 0° und 180° liegt, ist \sin \theta \ge 0.

Kreuzproduktmatrix[Bearbeiten]

Das Kreuzprodukt definiert für einen festen Vektor  \vec{w} eine lineare Abbildung, die einen Vektor  \vec{v} auf auf den Vektor  \vec{w}\times \vec{v} abbildet. Diese kann mit einem schiefsymmetrischen Tensor zweiter Stufe identifiziert werden. Bei Verwendung der Standardbasis  \lbrace\vec{e}_1, \vec{e}_2,\vec{e}_3\rbrace entspricht die lineare Abbildung einer Matrixoperation. Die schiefsymmetrische Matrix

 {W}=\sum_{i=1}^3 (\vec{w}\times \vec{e}_i)\otimes\vec{e}_i
=\left(\begin{array}{ccc}
0& -w_3& w_2\\
w_3& 0& -w_1\\
-w_2& w_1& 0
\end{array}\right)    mit     \displaystyle\vec{w}
=\sum_{i=1}^3 w_i \vec{e}_i
=\left(\begin{array}{c}
w_1\\
w_2\\
w_3
\end{array}\right)

leistet das Gleiche wie das Kreuzprodukt mit  \vec{w} , d. h.  {W}\vec{v}=\vec{w}\times \vec{v} :

 \left(\begin{array}{ccc}
0& -w_3& w_2\\
w_3& 0& -w_1\\
-w_2& w_1& 0
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}
-w_3 v_2+w_2 v_3\\
w_3 v_1-w_1 v_3\\
-w_2 v_1+w_1 v_2
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
w_1\\
w_2\\
w_3
\end{array}\right)
\times
\left(\begin{array}{c}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{array}\right) .

Die Matrix W heißt Kreuzproduktmatrix. Sie wird auch mit [\vec w]_{\times} bezeichnet.

Bei gegebener schiefsymmetrischer Matrix  {W} gilt

 {W}=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 W_{ij}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j = -W^{{T}} ,

wobei  {W}^{{T}} die Transponierte von  {W} ist, und man erhält den zugehörigen Vektor aus

 \vec{w}=-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 W_{ij}\vec{e}_i \times \vec{e}_j .

Hat \vec w die Gestalt  \vec{w} = \vec{b}\times\vec{a} , so gilt für die zugehörige Kreuzproduktmatrix:

 {W} = [\vec w]_{\times}= \vec{a}\otimes\vec{b}-\vec{b}\otimes\vec{a} und  W_{ij}= a_i b_j - b_i a_j für alle i, j.

Hierbei bezeichnet „\otimes“ das dyadische Produkt.

Polare und axiale Vektoren[Bearbeiten]

Bei der Anwendung des Kreuzprodukts auf vektorielle physikalische Größen spielt die Unterscheidung in polare Vektoren (das sind solche, die sich wie Differenzen zweier Ortsvektoren verhalten, zum Beispiel Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, elektrische Feldstärke) und axiale Vektoren (die sich wie Drehachsen verhalten, zum Beispiel Winkelgeschwindigkeit, Drehmoment, Drehimpuls, magnetische Flussdichte) eine Rolle. Polaren Vektoren ordnet man die Signatur (oder Parität) +1 zu, axialen Vektoren die Signatur -1.

Bei der vektoriellen Multiplikation mit einem polaren Vektor \vec b wechseln Vektoren ihre Signatur: Ist \vec a ein polarer Vektor, so ist \vec a\times\vec b ein axialer; ist \vec a ein axialer Vektor, so ist \vec a\times\vec b ein polarer. Bei der vektoriellen Multiplikation mit einem axialen Vektor bleibt dagegen die Signatur erhalten.

Vom Kreuzprodukt abgeleitete Operationen[Bearbeiten]

Spatprodukt[Bearbeiten]

Hauptartikel: Spatprodukt

Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}

wird als Spatprodukt bezeichnet. Das Ergebnis ist eine Zahl, die dem orientierten Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds) entspricht.

Rotation[Bearbeiten]

Hauptartikel: Rotation (Mathematik)

In der Vektoranalysis wird das Kreuzprodukt zusammen mit dem Nabla-Operator \nabla verwendet, um den Differentialoperator Rotation zu bezeichnen. Ist \vec V ein Vektorfeld im \R^3, so ist


\operatorname{rot}\vec{V} =
\nabla \times \vec{V} =
\begin{pmatrix}
\frac \partial {\partial x_1} \\[.5em] 
\frac \partial {\partial x_2}\\[.5em] 
\frac \partial {\partial x_3}
\end{pmatrix} 
\times 
\begin{pmatrix}V_1\\[.5em] V_2\\[.5em] V_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x_2} V_3 - \frac{\partial}{\partial x_3} V_2 \\[.5em]
\frac{\partial}{\partial x_3} V_1 - \frac{\partial}{\partial x_1} V_3 \\[.5em]
\frac{\partial}{\partial x_1} V_2 - \frac{\partial}{\partial x_2} V_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_3}{\partial x_2} - \frac{\partial V_2}{\partial x_3} \\[.5em]
\frac{\partial V_1}{\partial x_3} - \frac{\partial V_3}{\partial x_1} \\[.5em]
\frac{\partial V_2}{\partial x_1} - \frac{\partial V_1}{\partial x_2}
\end{pmatrix}

wieder ein Vektorfeld, die Rotation von \vec V.

Formal wird dieses Vektorfeld also als Kreuzprodukt des Nabla-Operators und des Vektorfelds \vec V berechnet. Die hierbei auftretenden Ausdrücke \tfrac \partial {\partial x_i} V_j sind jedoch keine Produkte, sondern Anwendungen des Differentialoperators \tfrac \partial {\partial x_i} auf die Funktion V_j. Deshalb sind die oben angeführten Rechenregeln wie z. B. die Graßmann-Identität in diesem Fall nicht gültig. Stattdessen gelten für doppelte Kreuzprodukte mit dem Nabla-Operator besondere Rechenregeln.

Kreuzprodukt im Rn[Bearbeiten]

Das Kreuzprodukt lässt sich für beliebige Dimension n \ge 2 auf den \mathbb{R}^n verallgemeinern. Dabei ist das Kreuzprodukt im \mathbb{R}^n kein Produkt von zwei Faktoren, sondern von n-1 Faktoren.

Das Kreuzprodukt \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1} der Vektoren \vec a_1, \dots , \vec a_{n-1} \in \R^n ist dadurch charakterisiert, dass für jeden Vektor \vec v \in \R^n gilt

 \vec v \cdot (\vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}) =  \operatorname{det} (\vec v, \vec a_1, \dots, \vec a_{n-1}).

In Koordinaten lässt sich das Kreuzprodukt im \R^n wie folgt berechnen. Es sei \vec e_i der zugehörige i-te kanonische Einheitsvektor. Für n-1 Vektoren


  \vec a_1
  =
  \begin{pmatrix}a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1}\end{pmatrix}, \ 
\vec a_2
  =
  \begin{pmatrix}a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n2}\end{pmatrix}, \ 
\dots, \ 
\vec a_{n-1}
  =
  \begin{pmatrix}a_{1\, (n-1)} \\ a_{2\, (n-1)} \\ \vdots \\ a_{n\, (n-1)}\end{pmatrix} \in \R^n

gilt

 \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1} = \det
  \begin{pmatrix}
    \vec e_1 & a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} \\
    \vec e_2 & a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    \vec e_n & a_{n1} & \dots & a_{n(n-1)}
  \end{pmatrix}=
\begin{vmatrix}
    \vec e_1 & a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} \\
    \vec e_2 & a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    \vec e_n & a_{n1} & \dots & a_{n(n-1)}
  \end{vmatrix},

analog zu der oben erwähnten Berechnung mit Hilfe einer Determinante.

Der Vektor  \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1} ist orthogonal zu \vec a_1,\vec a_2, ... , \vec a_{n-1}. Die Orientierung ist so, dass die Vektoren  \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}, \vec a_1,\vec a_2, ... , \vec a_{n-1} in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Der Betrag von  \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1} ist gleich dem (n-1)-dimensionalen Volumen des von \vec a_1,\vec a_2, ... , \vec a_{n-1} aufgespannten Parallelotops.

Für n = 2 erhält man dabei kein Produkt, sondern nur eine lineare Abbildung

\R^2 \to \R^2; \ 
\begin{pmatrix} a_1 \\a_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a_2 \\ -a_1 \end{pmatrix},

die Rotation um 90° im Uhrzeigersinn.

Hieran ist auch zu erkennen, dass die Komponentenvektoren des Kreuzprodukts inklusive des Ergebnisvektors in dieser Reihenfolge – anders als aus dem \R^3 gewöhnt – im Allgemeinen kein Rechtssystem bilden; diese entstehen nur in reellen Vektorräumen mit ungeradem n, bei geraden n bildet der Ergebnisvektor mit den Komponentenvektoren ein Linkssystem. Dies liegt wiederum daran, dass die Basis ( \vec a_1, \vec a_2,  \dotsc,  \vec a_{n-1},  \vec a_1 \times \vec a_2 \times \dotsb \times \vec a_{n-1}) in Räumen geradzahliger Dimension nicht dasselbe ist wie die Basis (\vec a_1 \times \vec a_2 \times \dotsb \times \vec a_{n-1}, \vec a_1, \vec a_2,  \dotsc,  \vec a_{n-1}), die per Definition (siehe oben) ein Rechtssystem ist. Zwar würde eine kleine Veränderung der Definition dazu führen, dass die Vektoren in der erstgenannten Reihenfolge im \R^n stets ein Rechtssystem bilden, nämlich wenn in der symbolischen Determinante die Spalte der Einheitsvektoren ganz nach rechts gesetzt würde. Diese Definition hat sich allerdings nicht durchgesetzt.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung führt auf die Graßmann-Algebren.

Anwendungen[Bearbeiten]

Das Kreuzprodukt findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik, unter anderem bei folgenden Themen:

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Kreuzprodukt – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Kreuzprodukt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Quellen[Bearbeiten]

  1.  Max Päsler: Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung. Walter de Gruyter, 1977, ISBN 3-11-082794-8, S. 33.
  2. a b c d e Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. 2. Band 2. korrigierte Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel u. a. 2006, ISBN 3-7643-7105-6 (Grundstudium Mathematik), S .312–313