Statische Bestimmtheit

Die Statische Bestimmtheit ist eine Kennzahl für statische Systeme (Körper, Tragwerke, Fachwerke) und beschreibt, wie viele Lagerkräfte den möglichen Bewegungsrichtungen eines Systems gegenüberstehen.

Ein System ist statisch bestimmt, wenn die Anzahl der Lagerreaktionen („Auflagerbedingungen“) gleich der Anzahl der möglichen Bewegungsrichtungen („Freiheitsgrade“) ist und für jeder Bewegungsrichtung nur eine Lagerreaktion entgegen wirkt. Statisch bestimmte Systeme sind die einfachsten Systeme und können allein mit den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. Das gilt sowohl für die Auflagerkräfte, als auch für alle Schnittgrößen an beliebigen Teilsystemen.

Ein System ist statisch unbestimmt, wenn die Anzahl der Lagerreaktionen die Anzahl der möglichen Bewegungsrichtungen übersteigt. Mindestens einer Bewegungsrichtung wirken mehr als eine Lagereaktion entgegen. Die Berechnung solcher Systeme erfolgt mit Verfahren, die über die grundlegend geltenden Gleichgewichtsbedingungen hinaus gehen.

Ein System ist kinematisch oder statisch unterbestimmt, wenn die Anzahl der Lagerreaktionen kleiner ist als die Anzahl der möglichen Bewegungsrichtungen. Mindestens einer Bewegungsrichtung wirkt keine Lagerreaktion entgegen und das System kann sich frei in diese Richtung verschieben oder verdrehen. Kinematische Systeme sind deshalb aus baustatischer Sicht unbrauchbar.

Gleichgewichtsbedingungen

Statisch bestimmtes System

Zur Berechnung aller statisch bestimmten Systeme genügen als Hilfsmittel die Gleichgewichtsbedingungen: Bei ebener Statik die drei Gleichgewichtsbedingungen:

1. Die Summe aller Vertikalkräfte V = 0
2. Die Summe aller Horizontalkräfte H = 0
3. Die Summe aller Momente M = 0

Bei räumlicher Statik ergeben sich analog sechs Gleichgewichtsbedingungen:

1. Summe aller Kräfte in Richtung der x-Achse = 0
2. Summe aller Kräfte in Richtung der y-Achse = 0
3. Summe aller Kräfte in Richtung der z-Achse = 0
4. Summe aller Momente um die x-Achse = 0
5. Summe aller Momente um die y-Achse = 0
6. Summe aller Momente um die z-Achse = 0

Grad der statischen Unbestimmtheit

Um die statische Bestimmtheit eines Systems aus starren Körpern, die über Verbindungselemente miteinander verbunden sind, zu prüfen, kann eine notwendige Bedingung ausgewertet werden.

Hierzu sind die Wertigkeiten (also die jeweilige Anzahl der Lagerreaktionen) sämtlicher Verbindungselemente und der Auflager zu bestimmen und folgende Formel auszuwerten:

ebene Systeme: n = j+s−3k

räumliche Systeme: n = j+s−6k

Hierbei ist:

j: Summe aller Wertigkeiten der Lager

s: Summe aller Wertigkeiten der Verbindungen

k: Anzahl der freizuschneidenden starren Körper.

Jede Wertigkeit entspricht einer zu bestimmenden Größe (Kräfte oder Momente), während an jedem Körper die oben genannten drei Gleichgewichtsbedingungen (ebener Fall) formuliert werden können.

• für n<0 gilt: in jedem Fall statisch unterbestimmt (instabil, labil)
• für n=0 gilt: notwendig für statische Bestimmtheit
• für n>0 gilt: in jedem Fall statisch unbestimmt, n ist der Grad der statischen Unbestimmtheit

Für ebene Fachwerke, das sind gelenkig verbundene Stäbe, die nur Zug oder Druckkräfte übertragen, gilt:

n = a+s−2z

Hierbei ist

a: Anzahl der Auflagerreaktionen

s: Anzahl der Stäbe

z: Anzahl der Gelenke

In jedem Knoten können nur zwei Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden, da keine Momente auftreten. Diese Gleichung stellt somit einen Spezialfall der obigen allgemeineren Formel dar. Während die erste Formel auf dem Freischneiden der einzelnen Körper beruht, beruht die zweite Formel auf der Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen in jedem Gelenk und entspricht damit in der Herangehensweise dem Knotenpunktverfahren.

Schnittgrößen infolge Zwang

Verformungen durch Verschiebungen und Verdrehungen der Lager, Temperaturdehnungen, Kriechen und Schwinden von Beton verursachen in statisch bestimmten Systemen keine Zwangskräfte und damit auch keine Schnittgrößen. In statisch unbestimmten Systemen hingegen entstehen Schnittgrößen durch diese Einwirkungen. Bei der Berechnung solcher Systeme sind deshalb entsprechende Lastfälle anzusetzen.

Innere und äußere statische Bestimmtheit

Bei einer Reihe von Stabtragwerken ist es zweckmäßig und anschaulich, zwischen äußerer und innerer statischer Bestimmtheit zu unterscheiden. Ein System oder Systemteil ist äußerlich statisch bestimmt, wenn die äußeren Lagerreaktionen allein mit den Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden können. Ein System heißt innerlich statisch bestimmt, falls die Schnittgrößen an geschnittenen Teilsystemen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden können.

Beispiele

Statisch bestimmte Systeme sind z.B.:

• Einfeldträger (Träger auf zwei Stützen)
• Einfeldträger mit Kragarm
• Kragträger
• Dreigelenkrahmen
• Dreigelenkbogen
• Gerberträger

Statisch unbestimmte Systeme sind z.B.:

• Durchlaufträger

Beispiele für ein äußerlich bestimmtes, aber innerlich unbestimmtes System:

• Rahmenfachwerkträger
• Vierendeelträger

Siehe auch

• Balkentheorie
• Statik (Physik)
• Statische Berechnung
• Dreibein

Literatur

• N. Hinrichs: Keine Panik vor Mechanik! Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-0646-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).