Schnittreaktion

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Die Schnittreaktionen (auch Schnittgrößen oder Schnittkräfte) in der Statik zeigen das Wirken von Kräften und Drehmomenten innerhalb eines Bauteiles. Das sind die Kräfte und Momente, die das Bauteil den äußeren Einwirkungen gegenüber entgegenbringen muss, um nicht zu versagen (z.B. zu brechen oder zu bersten). Daher ist der Begriff "innere Kraftgrößen" anschaulicher. Schnittreaktionen oder Schnittgrößen sind im Zuge einer Stabstatik die Kraftgrößen (Kräfte und/oder Momente), die erst bei einem sogenannten "Schnitt" in der Berechnung aufscheinen.

Schnittprinzip[Bearbeiten]

Man kann (zur Vereinfachung einer Berechnung z.B.) jedes Bauteil mit den dazugehörigen Belastungen gedanklich an jeder beliebigen Stelle "schneiden" d.h. man muss es an dieser Stelle trennen und den Rest des Bauteils nicht mehr beachten. Da aber der weggeschnittene Rest von dem Bauteil physikalisch nicht einfach verschwinden kann, wird seine Wirkung auf das verbliebene Stück durch die Schnittkräfte repräsentiert.

Man darf willkürlich schneiden, sofern man bedenkt, dass jedes Teilsystem, bzw. jeder Rundschnitt im Gleichgewicht sein muss. Im Zuge einer Stabstatik, schneidet man im Zuge der üblichen Schnittkraftkonvention die jeweiligen Stäbe, jeweils im rechten Winkel. Es ist Zielführend, aber nicht notwendig, dass alle Schnittlinien, an denen man entlang schneidet, in sich geschlossen sind. An jeder durch die Schnitte entstandenen Stabenden entstehen im 2-Dimensionalen Fall die 3 Schnittkräfte. Man darf jedes Bauteil überall schneiden, solange alle Belastungen (innere und äußere Kräftgrößen, Zwängungen, Temperatureinwirkungen, Auflagerbedingungen,...) eingetragen sind.

Wenn man einen Stab teilt entstehen 2 Schnittufer. Als positives Schnittufer wird jenes Stabteilende bezeichnet, bei dem die positive x-Richtung vom jeweiligen Stabteil wegzeigt. Beim negativen Schnittufer zeigt die x-Richtung in Richtung des Stabes. Die Bezeichnung folgt daher, das alle Schnittkräfte in positive Richtung zeigen. Für den 2-Dimensionalen Fall gilt am positiven Schnittufer: Die Normalkraft zeigt in (positive) x-Richtung, die Querkraft zeigt in (positive) z-Richtung, und das Moment zeigt in (positive) y-Richtung. Da die y-Richtung bei der üblichen Stabachsenkoordinatenkonvention aus der Ebene heraus geht, ist die positive Drehrichtung im Gegenuhrzeigersinn. Die Bezugsfaser (auch gestrichelte - oder Definitionsfaser) wurde so definiert, dass sie bei der üblichen Konvention sowohl an der positiven z-Richtung liegt, als auch, dass die Fasern auf der Seite der Bezugsfaser bei positiven Moment eine positive Spannung (Zugspannung) bekommen.

Die Schnittkräfte in der Ebene[Bearbeiten]

Ein gerader Stab, von zwei Seiten geschnitten. Alle hier durch Pfeile dargestellten Kräfte bzw. Momente sind nach üblicher Vorzeichenkonvention positiv angetragen. Die gestrichelte Faser wird als gestrichelte Linie dargestellt.

Schnittreaktionen werden im zweidimensionalen Fall in 3 Komponenten unterteilt. Die Lage des lokalen Stabachsenkoordinatensystems wird am statischen System durch die gestrichelte Faser skizziert. Sie legt die Richtung, als auch den Ursprung der x-,y- und z-Achse sowie die Lage der y- und z-Achse fest. Im Zuge der üblichen Konvention gilt: Die z-Achse zeigt immer zur gestrichelten Seite hin.[1] Die Lage der x-Achse ist (unabhängig von der Bezugsfaser bzw. gestrichelten Faser) die Stabachse. Die Richtung der x-Achse bekommt man indem man die z-Achse in mathematisch positive Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) um 90° dreht. Die x-Achse wird an jenes Stabende gelegt, sodass der Stab – nicht-negative – x-Koordinaten hat.

  • Querkraft (V, früher Q) – Eine Kraft senkrecht zur x-Achse des Bauteils.
  • Normalkraft (N) – Eine Kraft parallel zur x-Achse des Bauteils.
  • Moment (M) – Das an der Schnittstelle wirkende Drehmoment.

Alle Schnittkräfte sind Vektorgrößen. D.h. jede Kraft hat eine Richtung und jedes Moment dreht entweder in oder gegen den Uhrzeigersinn. Daher gibt es eine Positivdefinition der Richtungen.

Beim Schneiden durch ideale (reibungsfreie) Vollgelenke gilt folgendes:

  1. Das Moment ist an einem Momentengelenk immer gleich der dort eingeprägten Größe.
  2. An einem Querkraftgelenk ist die Querkraft der jeweiligen Quergelenkskraftrichtung immer gleich der dort eingeprägten Größe.
  3. An einem Normalkraftgelenk ist die Normalkraft immer der dort eingeprägten Normalkraft.

Eingeprägte Schnittgrößen sind häufig gleich null, jedoch bezeichnet man ein Gelenk, dann als Gelenk, wenn von vorneherein, ohne weitere Rechnung, die Kraft dort bekannt ist, zum Beispiel bei einem Träger auf zwei Stützen, bei dem an beiden Enden ein Moment wirkt, nennt man das Moment eingeprägte Große, ebenso tritt bei Fließgelenken jene eingeprägte Größe auf, welche der plastischen Tragfähigkeit entspricht. Wenn man von Gelenken spricht, meint man oft nicht den Sammelbegriff, sondern ein Momentenvollgelenk mit einem eingeprägten Moment gleich Null, da das oftmals das häufigste (bzw. einzige bekannte) Gelenk ist.

Zustandslinien[Bearbeiten]

Verschiebt man die gedachte Schnittstelle entlang des Bauteiles, so erhält man eine Funktion der Schnittreaktionen über den gesamten Verschiebeweg. Mit Hilfe der Infinitesimalrechnung lassen sich dann die Stellen der stärksten inneren Belastung eines Bauteiles durch eine feststehende äußere Last berechnen. Da sie den inneren Zustand des Bauteiles unter der Belastung beschreiben, nennt man diese Funktionen auch Zustandslinien. Dieser Berechnung sind Normal- und Schubkräfte, Biege- und Torsionsmomente zugänglich.

Einflusslinien[Bearbeiten]

Konstruktion der Einflusslinien für Biegemoment (m) und Querkraft (q) an der Stelle C des Einfeldträger unter einer Einzellast P.

Schnittreaktionen werden auch für mehrere Lastfälle benötigt. Dies ist vor allem im Brückenbau, da diese Bauwerke viele Lastfälle haben, zufolge mehrerer sich gegenseitig ausschließender veränderlicher Lasten und vielen Lastfeldern. Die Bestimmung der Schnittreaktionen läuft genauso wie oben beschrieben ab, die entstehenden Funktionen heißen wegen des Einflusses des Lastangriffes auch Einflusslinien. Die Auswertung der Einflusslinie bedeutet, dass die tatsächliche Schnittgroße der zu untersuchten Stelle ermittelt wird, in dem man die Ordinaten der Einflusslinie an der Angriffsstelle der Kraftgrößen mit dem jeweiligen Betrag der Kraft selbst multipliziert und anschließend superponiert. Da Einflusslinien im Allgemeinen nur in statischen Problemstellungen verwendet werden, werden damit im Allgemeinen keine Einflüsse zufolge bewegter Lasten (dynamisch) abgebildet.

Berechnen der Schnittreaktionen[Bearbeiten]

Um Schnittreaktionen zu berechnen, gibt es eine Vielzahl an Möglichkeiten. Je nachdem welches System man vorliegen hat. Generell unterscheidet man:

Gleichgewichtsprinzip[Bearbeiten]

Das Verfahren liefert im Allgemeinen nur bei statisch bestimmten Systemen eindeutige Ergebnisse. Bei statisch unbestimmten Systemen gibt es im Allgemeinen viel zu viele Unbekannte, um das Gleichgewichtsprinzip anzuwenden. In diesem Fall führen z.B. Kraft- oder Weggrößenverfahren zur Lösung. Die Schnittreaktionen (an statisch bestimmten Systemen) rechnet man normalerweise mithilfe des Gleichgewichtsprinzips aus. Das Gleichgewichtsprinzip besagt im statischen Fall (Beschleunigungen sind gleich Null), dass:

  1. die Summe aller Kräfte in X-Richtung (an einem System oder an jedem Teilsystems) gleich null sein muss;
  2. die Summe aller Kräfte in Y-Richtung (an einem System oder an jedem Teilsystems) gleich null sein muss;
  3. die Summe aller Kräfte in Z-Richtung (an einem System oder an jedem Teilsystems) gleich null sein muss;
  4. die Summe aller Momente (an einem System oder an jedem Teilsystems) gleich null sein muss.

Mit diesen Gleichgewichtsbedingungen werden Gleichungen (mit einer oder mehreren Unbekannten) erstellt, die es ermöglichen die fehlenden Kräfte oder Momente auszurechnen. Eine rechentechnisch intelligente Wahl der Schnitte ist, so, dass man jeweils nur eine zu suchende Kraftgroße als Unbekannte eingeht, jedoch ist dies nicht immer möglich.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. Wall: Technische Mechanik 1: Statik, Band 1. Springer Verlag, Berlin 2011, ISBN 9783642138058, S. 171 ff.