Zweipunkteform

Die Zweipunkteform oder Zwei-Punkte-Form ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung. In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mit Hilfe zweier Punkte der Gerade dargestellt. Die Koordinatendarstellung der Zweipunkteform erfolgt mit Hilfe des Steigungsdreiecks der Geraden. In Vektordarstellung dient der Ortsvektor eines der beiden Punkte als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor zu dem Ortsvektor des anderen Punkts den Richtungsvektor der Gerade bildet.

Koordinatendarstellung

Darstellung

Steigungsdreieck einer Geraden

Eine Gerade $g$ in der Ebene, die durch die beiden Punkte $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ verläuft, wird in der Zweipunkteform durch

$g=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}~{\Big |}~{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right\}$

dargestellt. Hierbei müssen die Koordinaten $x_{1}$ und $x_{2}$ verschieden sein und $x$ darf nicht gleich $x_{1}$ gewählt werden. Diese Darstellung folgt daraus, dass für die Steigung der Gerade

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

gilt und nach dem Strahlensatz anstelle des Punkts $(x_{2},y_{2})$ ein beliebiger Geradenpunkt $(x,y)$ gewählt werden kann ohne dass sich das Verhältnis $m$ verändert. Wird die Gleichung nach $y$ aufgelöst, erhält man die explizite Darstellung

$g=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}~{\Big |}~y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+y_{1}\right\}$,

die auch für $x=x_{1}$ gültig ist.

Beispiel

Sind beispielsweise die beiden gegebenen Punkte $(-2,1)$ und $(2,3)$, so erhält man als Geradengleichung

${\frac {y-1}{x+2}}={\frac {3-1}{2+2}}$

oder aufgelöst nach $y$

$y={\tfrac {1}{2}}(x+2)+1$.

Vektordarstellung

Zweipunkteform einer Gerade

Darstellung

In der Zweipunkteform wird eine Gerade $g$ in der Ebene durch die Ortsvektoren ${\vec {p}}$ und ${\vec {q}}$ zweier Punkte der Gerade folgendermaßen beschrieben:

$g=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\vec {x}}={\vec {p}}+t({\vec {q}}-{\vec {p}})~{\text{für}}~t\in \mathbb {R} \}$.

Der Vektor ${\vec {p}}$ dient dabei als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor ${\vec {q}}-{\vec {p}}$ den Richtungsvektor der Gerade bildet. Die Punkte der Gerade werden dabei in Abhängigkeit von dem Parameter $t$ dargestellt, wobei jedem Parameterwert genau ein Punkt der Gerade entspricht. Damit handelt es sich hier um eine spezielle Parameterdarstellung der Gerade.

Beispiel

Ausgeschrieben lautet die Zweipunkteform einer Geradengleichung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}+t(q_{1}-p_{1})\\p_{2}+t(q_{2}-p_{2})\end{pmatrix}}$

mit $t\in \mathbb {R}$. Sind beispielsweise die beiden Ortsvektoren ${\vec {p}}={\tbinom {3}{2}}$ und ${\vec {q}}={\tbinom {5}{1}}$, so erhält man als Geradengleichung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}5-3\\1-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3+2t\\2-t\end{pmatrix}}$.

Jede Wahl von $t$, beispielsweise $t=2$ oder $t=-1$, ergibt dann einen Geradenpunkt.

Berechnung

Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Richtungsvektor ${\vec {u}}$ lässt sich neben dem Stützvektor ein weiterer Ortsvektor eines Punkts der Gerade einfach durch Wahl von

${\vec {q}}={\vec {p}}+{\vec {u}}$

finden. Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Normalenform und der hesseschen Normalform, wird zunächst die zugehörige Parameterform der Gerade ermittelt (siehe Berechnung der Parameterform) und daraus dann die Zweipunkteform.

Homogene Koordinaten

Eine verwandte Darstellung einer Gerade mit Hilfe zweier Geradenpunkte verwendet baryzentrische Koordinaten. Eine Gerade im $n$-dimensionalen euklidischen Raum wird dann durch folgende Gleichung beschrieben:

$g=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\vec {x}}=\lambda {\vec {p}}+\mu {\vec {q}}~{\text{für}}~\lambda ,\mu \in \mathbb {R} ~{\text{mit}}~\lambda +\mu =1\}$.

Hierbei sind $(\lambda ,\mu )$ die normierten baryzentrischen Koordinaten eines Geradenpunkts. Sind beide Koordinaten positiv, so liegt der Geradenpunkt zwischen den beiden Punkten, ist eine Koordinate negativ, außerhalb. Bei den baryzentrischen Koordinaten handelt es sich um spezielle homogene affine Koordinaten, während in der Zweipunkteform inhomogene affine Koordinaten verwendet werden.

Verallgemeinerung

Allgemein lassen sich durch die Zweipunkteform nicht nur Geraden im zweidimensionalen Raum, sondern auch in drei- und höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im $n$-dimensionalen euklidischen Raum lautet die Zweipunkteform einer Geradengleichung entsprechend

$g=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\vec {x}}={\vec {p}}+t({\vec {q}}-{\vec {p}})~{\text{für}}~t\in \mathbb {R} \}$,

wobei lediglich mit $n$-komponentigen statt dreikomponentigen Vektoren gerechnet wird. Auch die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten bleibt in höherdimensionalen Räumen in analoger Form erhalten.

Literatur

• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1. Springer, 2007, ISBN 978-3-8348-0224-8. 
• Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-77731-1.