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Version vom 30. Mai 2014, 23:30 Uhr
Die Ungleichung von Frobenius ist ein Ergebnis der Linearen Algebra , einem der Teilgebiete der Mathematik . Sie ist nach Georg Frobenius benannt und behandelt die Beziehungen zwischen den Rängen dreier hintereinander ausgeführter linearer Abbildungen .
Formulierung der Ungleichung Die Ungleichung besagt folgendes:[1] [2]
Gegeben seien vier Vektorräume
U
,
V
,
W
,
X
{\displaystyle U,V,W,X}
Körper
K
{\displaystyle K}
α
:
U
→
V
{\displaystyle \alpha \colon U\to V}
β
:
V
→
W
{\displaystyle \beta \colon V\to W}
γ
:
W
→
X
{\displaystyle \gamma \colon W\to X}
Dann gilt:
r
g
(
γ
β
)
+
r
g
(
β
α
)
≤
r
g
(
β
)
+
r
g
(
γ
β
α
)
{\displaystyle \mathrm {rg} (\gamma \beta )+\mathrm {rg} (\beta \alpha )\leq \mathrm {rg} (\beta )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )}
[3] Beweisskizze Sei
W
0
{\displaystyle W_{0}}
Komplementärraum von
i
m
(
β
α
)
{\displaystyle \mathrm {im} (\beta \alpha )}
i
m
(
β
)
{\displaystyle \mathrm {im} (\beta )}
i
m
(
β
)
=
i
m
(
β
α
)
⊕
W
0
{\displaystyle \mathrm {im} (\beta )=\mathrm {im} (\beta \alpha )\oplus W_{0}}
Dann folgt
i
m
(
γ
β
)
=
i
m
(
γ
β
α
)
+
γ
(
W
0
)
{\displaystyle \mathrm {im} (\gamma \beta )=\mathrm {im} (\gamma \beta \alpha )+\gamma (W_{0})}
und weiter
r
g
(
γ
β
)
≤
r
g
(
γ
β
α
)
+
dim
(
γ
(
W
0
)
)
{\displaystyle \mathrm {rg} (\gamma \beta )\leq \mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )+\dim(\gamma (W_{0}))}
Damit bekommt man
r
g
(
β
α
)
+
r
g
(
γ
β
)
≤
r
g
(
β
α
)
+
r
g
(
γ
β
α
)
+
dim
(
γ
(
W
0
)
)
≤
r
g
(
β
α
)
+
r
g
(
γ
β
α
)
+
dim
(
W
0
)
{\displaystyle \mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta )\leq \mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )+\dim(\gamma (W_{0}))\leq \mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )+\dim(W_{0})}
und weiter
r
g
(
β
α
)
+
r
g
(
γ
β
)
≤
[
dim
(
i
m
(
β
α
)
)
+
dim
(
W
0
)
]
+
r
g
(
γ
β
α
)
=
dim
(
i
m
(
β
)
)
+
r
g
(
γ
β
α
)
{\displaystyle \mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta )\leq [\dim(\mathrm {im} (\beta \alpha ))+\dim(W_{0})]+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )=\dim(\mathrm {im} (\beta ))+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )}
und schließlich
r
g
(
β
α
)
+
r
g
(
γ
β
)
≤
r
g
(
β
)
+
r
g
(
γ
β
α
)
{\displaystyle \mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta )\leq \mathrm {rg} (\beta )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )}
und damit die behauptete Ungleichung.
Anmerkung Da bei Vektorräumen unendlicher Dimension der Dimensionsbegriff und auch der Nachweis der Existenz eines Komplementärraums die Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms erfordert, ist im Falle , dass man diese Annahme nicht treffen möchte, von Vektorräumen endlicher Dimension auszugehen. Für solche ist die Ungleichung stets gültig.
Literatur Einzelnachweise und Fußnoten
↑ Kowalsky-Michler: S. 77–78, 375–376 . Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Weder 'Titel' noch sonstiges Werk
↑ Scheja-Storch: S. 389 . Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Weder 'Titel' noch sonstiges Werk
↑ Der Übersichtlichkeit der Formeln wegen nimmt man anstelle der Darstellung der Komposition in der Form
β
∘
α
{\displaystyle \beta \circ \alpha }
β
α
{\displaystyle \beta \alpha }
![{\displaystyle \mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta )\leq [\dim(\mathrm {im} (\beta \alpha ))+\dim(W_{0})]+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )=\dim(\mathrm {im} (\beta ))+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133800dd791a485bab6f64382257723df979b40d)
