Lineare Abbildung

Achsenspiegelung als Beispiel einer linearen Abbildung

Eine lineare Abbildung (auch Vektorraumhomomorphismus genannt) ist in der linearen Algebra ein wichtiger Typ von Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper. Bei einer linearen Abbildung ist es unerheblich, ob man zwei Vektoren zuerst addiert und dann deren Summe abbildet oder zuerst die Vektoren abbildet und dann die Summe der Bilder bildet. Gleiches gilt für die Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundkörper.

Das abgebildete Beispiel einer Spiegelung an der Y-Achse verdeutlicht dies. Der Vektor $c$ ist die Summe der Vektoren $a$ und $b$ und sein Bild der Vektor ${c'}$. Man erhält ${c'}$ aber auch, wenn man die Bilder ${a'}$ und ${b'}$ der Vektoren $a$ und $b$ addiert.

Man spricht dann davon, dass eine lineare Abbildung mit den Verknüpfungen Vektoraddition und skalarer Multiplikation verträglich ist. Es handelt sich somit bei der linearen Abbildung um einen Homomorphismus zwischen Vektorräumen.

In der Funktionalanalysis, bei der Betrachtung unendlichdimensionaler Vektorräume, die eine Topologie tragen, spricht man meist von linearen Operatoren statt von linearen Abbildungen. Formal gesehen sind die Begriffe synonym. Bei unendlichdimensionalen Vektorräumen ist jedoch die Frage der Stetigkeit bedeutsam, während Stetigkeit immer vorliegt bei linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen ${\mathbb R}^m \to {\mathbb R}^n$ (jeweils mit der euklidischen Norm) oder allgemeiner zwischen endlichdimensionalen hausdorffschen topologischen Vektorräumen.

Definition

Seien $V$ und $W$ Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper $K$. Eine Abbildung $f\colon V \to W$ heißt lineare Abbildung, wenn für alle $x,y \in V$ und $a \in K$ die folgenden Bedingungen gelten:

• $f$ ist homogen:

  $f\left(a x\right) = a f\left(x\right)$

• $f$ ist additiv:

  $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$

Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen:

$f\left(ax + y\right) = af\left(x\right) + f\left(y\right)$

Für $y = 0_V$ geht diese in die Bedingung für die Homogenität und für $a = 1_K$ in diejenige für die Additivität über. Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung $f$ ein Untervektorraum der Summe der Vektorräume $V$ und $W$ ist.

Beispiele

• Für $U = V = \R$ hat jede lineare Abbildung die Gestalt $f(x) = m x$ mit $m \in \R$.

• Es sei $U = \R^n$ und $V = \R^m$. Dann wird für jede $m \times n$-Matrix $A$ mit Hilfe der Matrizenmultiplikation eine lineare Abbildung
  $f \colon \R^n \to \R^m$
  durch
  $f(x) = A \, x = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$
  definiert. Jede lineare Abbildung von $\R^n$ nach $\R^m$ kann so dargestellt werden.

• Ist $I \subset \R$ ein offenes Intervall, $U = C^1(I,\R)$ der $\R$-Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf $I$ und $V = C^0(I,\R)$ der $\R$-Vektorraum der stetigen Funktionen auf $I$, so ist die Abbildung
  $D \colon C^1(I,\R) \to C^0(I,\R)$, $f \mapsto f',$
  die jeder Funktion $f \in C^1(I,\R)$ ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere lineare Differentialoperatoren.

Bild und Kern

Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das Bild und der Kern einer linearen Abbildung $f\colon V \to W$.

• Das Bild $\mathrm {im} (f)$ der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter $f$, also die Menge aller $f(v)$ mit $v$ aus $V$. Die Bildmenge wird daher auch durch $f(V)$ notiert. Das Bild ist ein Untervektorraum von $W$.

• Der Kern $\mathrm{ker}(f)$ der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus $V$, die durch $f$ auf den Nullvektor von $W$ abgebildet werden. Er ist ein Untervektorraum von $V$. Die Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält.

Eigenschaften

• Eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen $V$ und $W$ bildet den Nullvektor von $V$ auf den Nullvektor von $W$ ab:
  $f(0_V) = 0_W$, denn $f\left(0_V\right) = f\left(0 \cdot 0_V\right) = 0 \cdot f\left( 0_V\right) = 0_W.$
• Eine Beziehung zwischen Kern und Bild einer linearen Abbildung $f\colon V \to W$ beschreibt der Homomorphiesatz: Der Faktorraum $V / \mathrm {ker} (f)$ ist isomorph zum Bild $\mathrm{im}(f)$.

Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen

Basis

Zusammenfassung der Eigenschaften injektiver und surjektiver linearer Abbildungen

Eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist durch die Bilder der Vektoren einer Basis eindeutig bestimmt. Bilden die Vektoren $b_1, \dotsc, b_n$ eine Basis des Vektorraums $V$ und sind $w_1, \dotsc, w_n$ Vektoren in $W$, so gibt es genau eine lineare Abbildung $f \colon V \to W$, die $b_1$ auf $w_1$, $b_2$ auf $w_2$, …, $b_n$ auf $w_n$ abbildet. Ist $v$ ein beliebiger Vektor aus $V$, so lässt er sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen:

$v = \textstyle\sum\limits_{j=1}^n v_j b_j$

Sein Bild $f(v)$ ist gegeben durch

$f(v) = \textstyle\sum\limits_{j=1}^n v_j f(b_j) = \sum\limits_{j=1}^n v_j w_j$

Die Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn die Bildvektoren $w_1, \dotsc, w_n$ der Basis linear unabhängig sind. Sie ist genau dann surjektiv, wenn $w_1, \dotsc, w_n$ den Zielraum $W$ aufspannen.

Ordnet man jedem Element einer Basis $b_1, \dotsc, b_n$ von $V$ einen Vektor $w_1, \dotsc, w_n$ aus $W$ beliebig zu, so kann man mit obiger Formel diese Zuordnung eindeutig zu einer linearen Abbildung $f \colon V \to W$ fortsetzen.

Stellt man die Bildvektoren $w_j$ bezüglich einer Basis von $W$ dar, so führt dies zur Matrixdarstellung der linearen Abbildung.

Abbildungsmatrix

→ Hauptartikel: Abbildungsmatrix

Sind $V$ und $W$ endlichdimensional, $\dim V = n$, $\dim W = m$, und sind Basen $B = \{b_1, \dotsc, b_n\}$ von $V$ und $B' = \{b_1', \dotsc, b_m'\}$ von $W$ gegeben, so kann jede lineare Abbildung $f \colon V \to W$ durch eine $m \times n$-Matrix $M^B_{B'}(f)$ dargestellt werden. Diese erhält man wie folgt: Für jeden Basisvektor $b_j$ aus $B$ lässt sich der Bildvektor $f(b_j)$ als Linearkombination der Basisvektoren $b_1', \dotsc, b_m'$ darstellen:

$f(b_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} b_i'$

Die $a_{ij}$, $i = 1, \dotsc, m$, $j = 1, \dotsc, n$ bilden die Einträge der Matrix $M^B_{B'}(f)$:

$M^B_{B'}(f) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1j} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots &a_{mj} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$

In der $j$-ten Spalte stehen also die Koordinaten von $f(b_j)$ bezüglich der Basis $B'$.

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor $f(v)$ jedes Vektors $v = v_1 b_1 + \dotsb + v_n b_n \in V$ berechnen:

$f(v) = \sum_{j=1}^n v_j f(b_j) = \sum_{j=1}^n v_j \left(\sum_{i=1}^m a_{ij} b_i' \right) = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n a_{ij} v_j \right)b_i'$

Für die Koordinaten $w_1, \dotsc, w_n$ von $f(v)$ bezüglich $B'$ gilt also

$w_i = \sum_{j =1}^n a_{ij} v_j$.

Dies kann man mit Hilfe der Matrizenmultiplikation ausdrücken:

$\begin{pmatrix} w_1 \\ \vdots \\w_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\v_n \end{pmatrix}$

Die Matrix $M^B_{B'}(f)$ heißt Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von $f$. Andere Schreibweisen für $M^B_{B'}(f)$ sind $_{B'}f_B$ und $_{B'}[f]_B$.

Dimensionsformel

→ Hauptartikel: Rangsatz

Bild und Kern stehen über den Dimensionssatz in Beziehung. Dieser sagt aus, dass die Dimension von $V$ gleich der Summe der Dimensionen des Bildes und des Kerns ist:

$\dim V = \dim \mathrm{ker}(f) + \dim \mathrm{im}(f)$

Lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen

→ Hauptartikel: Linearer Operator

Insbesondere in der Funktionalanalysis betrachtet man lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen. In diesem Kontext nennt man die linearen Abbildungen meist lineare Operatoren. Die betrachteten Vektorräume tragen meist noch die zusätzliche Struktur eines normierten vollständigen Vektorraums. Solche Vektorräume heißen Banachräume. Im Gegensatz zum endlichdimensionalen Fall reicht es nicht lineare Operatoren nur auf einer Basis zu untersuchen. Nach dem baireschen Kategoriensatz hat nämlich eine Basis eines Banachraums überabzählbar viele Elemente und gibt somit keine besonderen Informationen für den linearen Operator. Auch lassen sich lineare Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen nicht durch Matrizen beschreiben. Eine Ausnahme bildet jedoch die Klasse der Hilbert-Schmidt-Operatoren, diese Operatoren können mithilfe „unendlich großer Matrizen“ dargestellt werden.

Besondere lineare Abbildungen

Monomorphismus

Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V \to W$, die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.

Epimorphismus

Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V \to W$, die surjektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Rang der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von $W$ ist.

Isomorphismus

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V \to W$, die bijektiv ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist. Die beiden Räume $V$ und $W$ bezeichnet man dann als isomorph.

Endomorphismus

Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume $V$ und $W$ gleich sind: $f\colon V \to V$. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix.

Automorphismus

Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume $V$ und $W$ gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix.

Vektorraum der linearen Abbildungen

Bildung des Vektorraums L(V,W)

Die Menge $L(V,W)$ der linearen Abbildungen von einem $K$-Vektorraum $V$ in einen $K$-Vektorraum $W$ ist ein Vektorraum über $K$, genauer: ein Untervektorraum des $K$-Vektorraums aller Abbildungen von $V$ nach $W$. Das bedeutet, dass die Summe zweier linearer Abbildungen $f$ und $g$, komponentenweise definiert durch

$(f+g) \colon x \mapsto f(x) + g(x)$,

wieder eine lineare Abbildung ist und dass das Produkt

$(\lambda f) \colon x \mapsto \lambda f(x)$

einer linearen Abbildung mit einem Skalar $\lambda \in K$ auch wieder eine lineare Abbildung ist.

Hat $V$ die Dimension $n$ und $W$ die Dimension $m$, und sind in $V$ eine Basis $B$ und in $W$ eine Basis $C$ gegeben, so ist die Abbildung

$L(V,W) \to K^{n\times m},\ f \mapsto M_C^B(f)$

ein Isomorphismus. Der Vektorraum $L(V,W)$ hat also die Dimension $n \cdot m$.

Betrachtet man die Menge der linearen Selbstabbildungen eines Vektorraums, so bilden diese nicht nur einen Vektorraum, sondern mit der Verkettung von Abbildungen als Multiplikation eine assoziative Algebra.

Verallgemeinerung

Eine lineare Abbildung ist ein Spezialfall einer affinen Abbildung.

Ersetzt man in der Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen den Körper durch einen Ring, erhält man einen Modulhomomorphismus.

Literatur

• Detlef Wille: Repetitorium der Linearen Algebra Teil 1. 4. Auflage. Binomi, Springe 2003, ISBN 3-923923-40-6
• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 6. Auflage, Vieweg, ISBN 3-528-56508-X, S. 124–143
• Günter Gramlich: Lineare Algebra, Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, ISBN 3-446-22122-0.