Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion existiert, nämlich eine Funktion, die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element derselben zuordnet und somit „auswählt“. Für endliche Mengen kann man das auch ohne dieses Axiom folgern, daher ist das Auswahlaxiom besonders für unendliche Mengen interessant.

Das Auswahlaxiom

Sei $\,A$ eine Menge von nichtleeren Mengen. Dann heißt $\,F$ eine Auswahlfunktion für $\,A$, falls $\,F$ den Definitionsbereich $\,A$ hat und gilt:

$\forall X \in A: F(X) \in X.$

$\,F$ wählt also aus jeder Menge $\,X$ in $\,A$ genau ein Element aus.

Das Auswahlaxiom lautet dann: Es gibt eine Auswahlfunktion für jede Menge nichtleerer Mengen.

Beispiel: Sei $\,A = \{\{0,2\},\{1,2,5,7\},\{4\}\}$. Dann gilt $\bigcup A = \{0,1,2,4,5,7\}$. Die Funktion $F:A\to \bigcup A$ definiert durch

$F(X) = \begin{cases}2, & \mbox{falls } X = \{0,2\},\\ 2, & \mbox{falls } X = \{1,2,5,7\},\\ 4, & \mbox{sonst}\end{cases}$

ist eine Auswahlfunktion für $\,A$.

Alternative Formulierungen

• Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904).
• Sei $\,A$ eine Menge von paarweise disjunkten nicht leeren Mengen $\,X_i$. Dann gibt es eine Menge $\,C$, die mit jedem $\,X_i$ genau ein gemeinsames Element hat (Zermelo 1907, ZF).

Bemerkungen

Das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, gibt jedoch kein Verfahren an, wie man eine solche konstruieren könnte. Man spricht in diesem Fall von einer schwachen Existenzaussage. Beispielsweise ist es nicht allgemein möglich, für eine beliebige Menge von Teilmengen von $\R$ eine Auswahlfunktion explizit anzugeben.

Für welche Fälle das Auswahlaxiom relevant ist, sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht:

• Für eine endliche Menge $A=\{A_1,\ldots,A_n\}$ von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist. Man braucht das Auswahlaxiom hierfür nicht. Ein formaler Beweis würde Induktion über die Größe der endlichen Menge verwenden.
• Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der natürlichen Zahlen ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus. Ähnlich kann man für eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen eine explizite Auswahlfunktion (ohne Verwendung des Auswahlaxioms) angeben, indem man etwa aus jeder Menge das (wenn möglich positive) Element mit kleinstem Absolutbetrag wählt.
• Selbst für Mengen von Intervallen reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt aus.
• Für Mengen von beliebigen nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen gibt es jedoch keine offensichtliche Definition einer Auswahlfunktion. In diesem Fall ist das Auswahlaxiom relevant. Es postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, ohne sie anzugeben. So kann man z.B. für die Menge aller Teilmengen der reellen Zahlen keine Auswahlfunktion explizit angeben.

Kurt Gödel zeigte 1938, dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt, wenn man die Widerspruchsfreiheit aller übrigen Axiome annimmt. 1963 aber zeigte Paul Cohen, dass auch die Negation (also das „Gegenteil“) des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch führt. Beide Annahmen sind also vom formalistischen Standpunkt aus akzeptabel.

Das Auswahlaxiom ist von der überwiegenden Mehrheit der Mathematiker akzeptiert. In vielen Zweigen der Mathematik, darunter auch neuere wie die Nichtstandardanalysis, führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen. Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig, der auf das Auswahlaxiom bewusst verzichtet. Darüber hinaus gibt es weitere Mathematiker, darunter viele der theoretischen Physik nahestehend, die das Auswahlaxiom ebenfalls nicht verwenden, insbesondere wegen kontraintuitiver Konsequenzen wie dem Banach-Tarski-Paradoxon. Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie z. B. der Satz von Hahn-Banach, so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken.

Zum Auswahlaxiom äquivalente Sätze

Setzt man die ZF-Axiome voraus, dann gibt es eine Vielzahl an wichtigen Sätzen, die zum Auswahlaxiom äquivalent sind. Die wichtigsten darunter sind das Lemma von Zorn und der Wohlordnungssatz. Zermelo führte das Auswahlaxiom ein, um den Beweis des Wohlordnungssatzes zu formalisieren. Die Namen „Lemma“ und „Satz“ rühren daher, dass diese Formulierungen nicht so unmittelbar einsichtig erscheinen wie das Auswahlaxiom selbst.

• Mengenlehre
  • Wohlordnungssatz: Jede Menge kann wohlgeordnet werden.
  • Wenn $\,A$ eine unendliche Menge ist, dann haben $\,A$ und $A\times A$ die gleiche Kardinalität.
  • Trichotomie: Zwei Mengen haben entweder gleiche Kardinalität oder eine der beiden Mengen hat eine kleinere Kardinalität als die andere.
  • Das kartesische Produkt einer nichtleeren Familie von nichtleeren Mengen ist nicht leer.
  • Satz von König: Vereinfacht: Die Summe einer Folge von Kardinalzahlen ist echt kleiner als das Produkt einer Folge von größeren Kardinalzahlen.
  • Jede surjektive Funktion hat ein Rechts-Inverses.
  • Lemma von Teichmüller-Tukey: Ist M eine nichtleere Menge von endlichem Charakter, so gibt es bezüglich der Mengeninklusion ein maximales Element.
• Ordnungstheorie
  • Lemma von Zorn: Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.
  • Hausdorffs Maximalkettensatz: In einer geordneten Menge kann jede Kette zu einer maximalen Kette erweitert werden.
  • Hausdorffs Maximalkettensatz (abgeschwächt): In einer geordneten Menge existiert mindestens eine maximale Kette.
• Algebra
  • Jeder Vektorraum hat eine Basis.
  • Jeder Ring mit Einselement, der nicht der Nullring ist, hat ein maximales Ideal.
• Graphentheorie
  • Jeder (unendliche) ungerichtete, zusammenhängende Graph hat einen Spannbaum.
• Topologie
  • Satz von Tychonoff: Das Produkt kompakter Räume ist selbst kompakt.
  • In der Produkt-Topologie: Der Abschluss eines Produktes von Teilmengen ist gleich dem Produkt der Abschlüsse der Teilmengen.
  • Das Produkt von vollständigen uniformen Räumen ist vollständig.

Literatur

• Ernst Zermelo: Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. Mathematische Annalen 1904, sowie zweiter Beweis, Mathematische Annalen 1908.
• Horst Herrlich: Axiom of Choice. Springer Lecture Notes in Mathematics 1876, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30989-6.
• Paul Howard, Jean E. Rubin: Consequences of the Axiom of Choice. American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0977-6.

Einzelnachweise

Axiome und Axiomenschemata der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Axiome: Extensionalitätsaxiom | Fundierungsaxiom | Leermengenaxiom | Paarmengenaxiom | Vereinigungsaxiom | Potenzmengenaxiom | Unendlichkeitsaxiom | Auswahlaxiom

Axiomenschemata: Aussonderungsaxiom | Ersetzungsaxiom