Rationaler Funktionenkörper

Ein Rationaler Funktionenkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Dieses Objekt hat die algebraische Struktur eines Körpers.

Definition

Der rationale Funktionenkörper $K(x)$ ist der Quotientenkörper des Polynomrings $K[x]$ über einem Körper $K$. Trotz der Namensgebung sind die Elemente von $K(x)$ keine Funktionen. Die Konstruktion von $K(x)$ ist analog zu jener der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Die Elemente $r\in K(x)$ können also als $r={\tfrac {f}{g}}$ mit Polynomen $f,g\in K[x]$, wobei $g$ nicht das Nullpolynom ist, geschrieben werden.

Die Körpererweiterung $K(x)/K$ ist nicht endlich und transzendent.

In mehreren Variablen

Definition

Der rationale Funktionenkörper $\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ in den Variablen $\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}$ ist analog definiert als der Quotientenkörper des Polynomrings $\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Konstruktion

Der rationale Funktionenkörper kann durch sukzessives Adjungieren einer Variablen $\displaystyle X_{i}$ und anschließendes Bilden des Quotientenkörpers konstruiert werden. Also:

$\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ist der Quotientenkörper des Polynomrings $\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n-1})[X_{n}]$, also des Polynomrings über dem Körper $\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n-1})$ in der Variable $\displaystyle X_{n}$

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, S. 63, doi:10.1007/978-3-642-39567-3.