Polynomring

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Wenn R ein kommutativer Ring mit einer 1 ist, dann ist der Polynomring  R[X] die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus dem Ring R und der Variablen X zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen. Davon zu unterscheiden sind in der abstrakten Algebra die Polynomfunktionen, nicht zuletzt, weil unterschiedliche Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können.

Definitionen[Bearbeiten]

Der Polynomring R[X][Bearbeiten]

R[X] ist die Menge aller endlichen Folgen

 R^{(\N_0)} := \left\{ (a_i)_{i \in \N_0} \,|\, a_i \in R, a_i = 0 \ \mbox{für fast alle } i \right\},

wobei „für fast alle“ bedeutet „für alle bis auf endlich viele“.

Die Addition wird komponentenweise durchgeführt:

 (a_i)_{i\in\N_0}+(b_i)_{i\in\N_0}:=(a_i+b_i)_{i\in\N_0}

und die Faltung der Folgen definiert die Multiplikation


(a_i)_{i\in\N_0}\cdot(b_i)_{i\in\N_0}
  :=\left(\sum_{i=0}^{k} a_ib_{k-i}\right)_{k\in \N_0}
   =\left(\sum_{i+j=k} a_ib_j\right)_{k\in \N_0}
.

Durch diese Verknüpfungen wird auf dem Raum der endlichen Folgen eine Ringstruktur definiert, dieser Ring wird als R[X] bezeichnet.

In diesem Ring wird X definiert als

 X := (0,1,0,0,\,\dotsc).

Aus der Definition der Multiplikation durch Faltung folgt dann, dass X^k=X \cdot \dotsc \cdot X (k Mal) genau an der k+1-en Stelle das Einselement stehen hat, ansonsten besteht die Folge X^k nur aus Nullen.

Mit dem Erzeuger X kann nun jedes Element f aus R^{(\N_0)} eindeutig in der geläufigen Polynomschreibweise

f = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dotsb + a_n X^n =a_0+\sum_{i=1}^n a_i X^i

dargestellt werden.

Ist S eine weitere Ringerweiterung von R und u\in S, so kann der Einsetzungshomomorphismus \phi_u\colon R[X]\to S durch

\phi_u(f)=a_0 + a_1 u + a_2 u^2 + \dotsb + a_n u^n

definiert werden. Für das Element \phi_u(f) \in S schreibt man auch f(u).

Damit erhält man den Polynomring R[X] über R in der Unbestimmten X. Die einzelnen Folgenglieder a_i nennt man die Koeffizienten des Polynoms.

Der Polynomring in mehreren Veränderlichen[Bearbeiten]

Der Polynomring in mehreren Veränderlichen wird rekursiv definiert durch:

 R[X_1,\dotsc,X_n]:=R[X_1,\dotsc,X_{n-1}][X_n]

Man betrachtet hier also Polynome in der Variablen X_n mit Koeffizienten aus dem Polynomring  R[X_1,\dotsc, X_{n-1}] , wobei dieser wieder genauso definiert ist. Dies kann man solange fortsetzen, bis man bei der Definition des Polynomrings in einer Veränderlichen angekommen ist. In R[X_1,\dotsc, X_n] kann man jedes Element eindeutig als

 \sum_{k=(k_1,\dotsc,k_n)\in\mathbb{N}^n} {a_k\, X_1^{k_1}\dotsm X_n^{k_n}}

schreiben.

Polynomring in beliebig vielen Unbestimmten (mit einer Indexmenge J) kann entweder als der Monoidring über dem freien kommutativen Monoid über J oder als der Kolimes der Polynomringe über endliche Teilmengen von J definiert werden.

Der Quotientenkörper[Bearbeiten]

Ist K ein Körper, so ist K(X) die Bezeichnung für den Quotientenkörper von K[X], den rationalen Funktionenkörper. Analog wird der Quotientenkörper eines Polynomrings K[X_1, \dotsc, X_n] über mehreren Unbestimmten mit K(X_1, \dotsc, X_n) bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Gradsatz[Bearbeiten]

Unter dem Grad eines Polynoms f\in R[X]=R^{(\mathbb N_0)}, f \ne 0, versteht man die Zahl

\operatorname{grad}(f):=\operatorname{max}\left\{k\in\mathbb N_0\mid a_k\ne 0\right\}.

Es gilt für alle  0\ne f, g \in R[X]

  • \operatorname{grad}(f\cdot g)\leq\operatorname{grad}(f)+\operatorname{grad}(g)
(Enthält R keine Nullteiler, gilt stets die Gleichheit.)
  • \operatorname{grad}(f+g)\leq\operatorname{max}\left\{\operatorname{grad}(f),\operatorname{grad}(g)\right\}.

Aus diesem Gradsatz folgt insbesondere, dass, wenn R ein Körper ist, die Einheiten genau den konstanten Polynomen ungleich null mit Grad null entsprechen.

Bei einem Körper K wird K[X] durch die Gradfunktion zu einem euklidischen Ring: Es gibt eine Division mit Rest, bei der der Rest 0 ist oder einen kleineren Grad als der Divisor hat.

Elementare Operationen, Polynomalgebra[Bearbeiten]

In der Polynomschreibweise sehen Addition und Multiplikation für Elemente f=\sum_{i=0}^m f_i X^i und g=\sum_{i=0}^n g_i X^i des Polynomrings R[X] wie folgt aus:

f+g = \sum_{k=0}^{\max(m,n)}(f_k+g_k)X^k,
f\cdot g = \sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{i+j=k} f_i\cdot g_j\right)X^k

Der Polynomring R[X] ist nicht nur ein kommutativer Ring, sondern auch ein Modul über R, wobei die Skalarmultiplikation gliedweise definiert ist. Damit ist R[X] sogar eine kommutative assoziative Algebra über R.

Homomorphismen[Bearbeiten]

Falls A und B kommutative Ringe mit 1 sind und \varphi\colon A\to B ein Homomorphismus ist, dann ist auch

\tilde\varphi \colon A[X]\to B[X],\quad \sum_{i=1}^{n} {a_iX^i}\,\mapsto\,\sum_{i=1}^{n} \varphi (a_i)X^i ein Homomorphismus.

Falls A und B kommutative Ringe mit 1 sind und  \varphi\colon A\to B ein Homomorphismus ist, dann gibt es für jedes b\in B einen eindeutigen Homomorphismus \phi_b\colon A[X]\to B, der eingeschränkt auf A gleich \varphi ist und für den  \phi_b(X)=b gilt, nämlich  \phi_b \left(\sum {a_iX^i}\right)=\sum {\varphi(a_i)b^i} .

Algebraische Eigenschaften[Bearbeiten]

Ist R ein kommutativer Ring mit 1, so gilt:

  • Ist R nullteilerfrei, so auch R[X].
  • Ist R faktoriell, so auch R[X] (Lemma von Gauß)
  • Ist K ein Körper, so ist K[X] euklidisch und daher ein Hauptidealring.
  • Ist R ein noethersch, so gilt für die Dimension des Polynomrings in einer Variablen über R: \mathrm{dim}(R[X])=
\mathrm{dim}(R)+1
  • Ist R noethersch, so ist der Polynomring R[X_1,\ldots,X_n] mit Koeffizienten in R noethersch. (Hilbertscher Basissatz)
  • Ist R ein Integritätsring und 0\neq f\in R[X], so hat  f maximal \mathrm{deg}(f) Nullstellen. Dies ist über Nicht-Integritätsringen im Allgemeinen falsch.
  • Ein Polynom f=a_nX^n+\ldots+a_0\in R[X] ist genau dann in R[X] invertierbar, wenn a_0 invertierbar ist und alle weiteren Koeffizienten nilpotent in R sind. Insbesondere ist ein Polynom f\in R[X] über einem Integritätsring R genau dann invertierbar, wenn es ein konstantes Polynom a_0 ist, wobei a_0 eine Einheit in R ist.

Polynomfunktion und Einsetzungshomomorphismus[Bearbeiten]

Ist

f=a_0+a_1X+\dotsb+a_nX^n

ein Polynom aus R[X], so nennt man

 f_R\colon R\to R,\quad x\mapsto f_R(x)=a_0+a_1x+\dotsb+a_nx^n

die zu f gehörende Polynomfunktion. Allgemeiner definiert f auch für jede [[Ring (Algebra)#Unter- und Oberring|Erweiterung]] S von R eine Polynomfunktion f_S\colon S\to S,\ x\mapsto f_S(x). Der Index wird oft weggelassen.

Umgekehrt gibt es für ein festes Element s\in S einer kommutativen Erweiterung S von R bei variablem Polynom einen Ringhomomorphismus

\Phi_s\colon R[X] \rightarrow S,\quad f\mapsto f_S(s)

bzw.

a_0 + a_1X + a_2X^2 + \dotsb + a_nX^n \longmapsto a_0 + a_1 s + \dotsb + a_n s^n,

der Auswertung(-shomomorphismus) für s oder Einsetzung(-shomomorphismus) von s genannt wird.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Setzen wir S = R[X] und s = X, so ist \Phi_X\colon R[X] \rightarrow R[X],\ f\mapsto f_{R[X]}(X)=f die identische Abbildung; \Phi_X = \operatorname{Id}_{R[X]}.
  • Betrachten wir einen Polynomring R[X, X_1, X_2, \dotsc, X_n] mit zusätzlichen Unbestimmten X_1, X_2, \dotsc, X_n (s. Polynome mit mehreren Veränderlichen) als Erweiterung von R[X], ergibt sich analog zur Konstruktion aus vorigem Beispiel der Einsetzungshomomorphismus \Phi_X\colon R[X] \rightarrow R[X,Y],\ f\mapsto f_{R[X,Y]}(X)=f als Monomorphismus von R[X] in R[X, X_1, X_2, \dotsc, X_n].

Beispiele[Bearbeiten]

Ein Polynom über einem endlichen Körper[Bearbeiten]

Da in dem endlichen Körper \mathbb F_q die Einheitengruppe zyklisch mit der Ordnung q-1 ist, gilt für x \in \mathbb F_q die Gleichung x^q=x. Deswegen ist die Polynomfunktion f_{\mathbb F_q}\colon \mathbb F_q \to \mathbb F_q des Polynoms

f=X^q-X=\prod_{a \in \mathbb F_q}(X-a) \in \mathbb F_q[X]

die Nullfunktion, obwohl f nicht das Nullpolynom ist.

Ist q eine Primzahl, dann entspricht dies genau dem kleinen fermatschen Satz.

Ein Polynom mit zwei Veränderlichen[Bearbeiten]

Sei f=X^2+Y^2-1 \in \mathbb{R}[X,Y] . Die reellen Nullstellen dieses Polynoms sind alle Punkte der Einheitskreislinie, in Formeln

N=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 :x^2+y^2=1\}.

Es gibt hier also unendlich viele Nullstellen, anders als in \mathbb{Z}[X] oder \mathbb{R}[X] , wo jedes Polynom nur endlich viele Nullstellen hat.

Polynome im Komplexen[Bearbeiten]

Jedes komplexe Polynom f\in \Bbb C[X] vom Grad n hat genau n Nullstellen in  \mathbb{C} , wenn man jede Nullstelle gemäß ihrer Vielfachheit zählt. Dabei heißt eine Nullstelle z k-fach, falls (X-z)^k ein Teiler von f ist, (X-z)^{k+1} dagegen nicht mehr.

Insbesondere gilt dieser Fundamentalsatz der Algebra auch für reelle Polynome f\in\R[X], wenn man diese als Polynome in \Bbb C[X] auffasst. Zum Beispiel hat das Polynom  X^2+1 die Nullstellen \mathrm{i} und -\mathrm{i}, da  \mathrm{i}^2=-1 und ebenso  (-\mathrm{i})^2=-1, also gilt  X^{2}+1=(X+\mathrm{i})(X-\mathrm{i}).

Literatur[Bearbeiten]