Polynomring

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Wenn R ein kommutativer Ring mit einer 1 ist, dann ist der Polynomring  R[X] die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus dem Ring R und der Variablen X zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen. Davon zu unterscheiden sind in der abstrakten Algebra die Polynomfunktionen, nicht zuletzt, weil unterschiedliche Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können.

Definitionen[Bearbeiten]

Der Polynomring R[X][Bearbeiten]

R[X] ist die Menge aller endlichen Folgen

 R^{(\N_0)} := \left\{ (a_i)_{i \in \N_0} \,|\, a_i \in R, a_i = 0 \ \mbox{für fast alle } i \right\},

wobei „für fast alle“ bedeutet „für alle bis auf endlich viele“.

Die Addition wird komponentenweise durchgeführt:

 (a_i)_{i\in\N_0}+(b_i)_{i\in\N_0}:=(a_i+b_i)_{i\in\N_0}

und die Faltung der Folgen definiert die Multiplikation


(a_i)_{i\in\N_0}\cdot(b_i)_{i\in\N_0}
  :=\left(\sum_{i=0}^{k} a_ib_{k-i}\right)_{k\in \N_0}
   =\left(\sum_{i+j=k} a_ib_j\right)_{k\in \N_0}
.

Durch diese Verknüpfungen wird auf dem Raum der endlichen Folgen eine Ringstruktur definiert, dieser Ring wird als R[X] bezeichnet.

In diesem Ring wird X definiert als

 X := (0,1,0,0,\,\dotsc).

Aus der Definition der Multiplikation durch Faltung folgt dann, dass X^k=X \cdot \dotsc \cdot X (k Mal) genau an der k+1-en Stelle das Einselement stehen hat, ansonsten besteht die Folge X^k nur aus Nullen.

Mit dem Erzeuger X kann nun jedes Element f aus R^{(\N_0)} eindeutig in der geläufigen Polynomschreibweise

f = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dotsb + a_n X^n =a_0+\sum_{i=1}^n a_i X^i

dargestellt werden.

Ist S eine weitere Ringerweiterung von R und u\in S, so kann der Einsetzungshomomorphismus \phi_u\colon R[X]\to S durch

\phi_u(f)=a_0 + a_1 u + a_2 u^2 + \dotsb + a_n u^n

definiert werden. Für das Element \phi_u(f) \in S schreibt man auch f(u).

Damit erhält man den Polynomring R[X] über R in der Unbestimmten X. Die einzelnen Folgenglieder a_i nennt man die Koeffizienten des Polynoms.

Der Polynomring in mehreren Veränderlichen[Bearbeiten]

Der Polynomring in mehreren Veränderlichen wird rekursiv definiert durch:

 R[X_1,\dotsc,X_n]:=R[X_1,\dotsc,X_{n-1}][X_n]

Man betrachtet hier also Polynome in der Variablen X_n mit Koeffizienten aus dem Polynomring  R[X_1,\dotsc, X_{n-1}] , wobei dieser wieder genauso definiert ist. Dies kann man solange fortsetzen, bis man bei der Definition des Polynomrings in einer Veränderlichen angekommen ist. In R[X_1,\dotsc, X_n] kann man jedes Element eindeutig als

 \sum_{k=(k_1,\dotsc,k_n)\in\N_0^n} {a_k\, X_1^{k_1}\dotsm X_n^{k_n}}

schreiben.

Polynomring in beliebig vielen Unbestimmten (mit einer Indexmenge J) kann entweder als der Monoidring über dem freien kommutativen Monoid über J oder als der Kolimes der Polynomringe über endliche Teilmengen von J definiert werden.

Der Quotientenkörper[Bearbeiten]

Ist K ein Körper, so ist K(X) die Bezeichnung für den Quotientenkörper von K[X], den rationalen Funktionenkörper. Analog wird der Quotientenkörper eines Polynomrings K[X_1, \dotsc, X_n] über mehreren Unbestimmten mit K(X_1, \dotsc, X_n) bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Gradsatz[Bearbeiten]

Die Funktion

\begin{array}{rccl}
\operatorname{deg} \colon & R[X] & \to & \quad \N_0 \cup \{-\infty\} \\
  & f & \mapsto & \begin{cases}
  \operatorname{max}\left\{k\in\N_0\mid a_k\ne 0\right\}, & \text{wenn } f \neq 0\\
  -\infty, & \text{wenn } f = 0
\end{cases}
\end{array}

definiert den Grad des Polynoms f in der Unbestimmten X . Hierbei gelten für  -\infty die üblichen Maßgaben für Vergleich und Addition: für alle  k \in \N_0 gilt  -\infty < k und  -\infty + k = -\infty .

Der Koeffizient  a_{\operatorname{deg}(f)} wird der Leitkoeffizient von  f \neq 0 genannt.

Es gilt für alle  f, g \in R[X]

  • \operatorname{deg}(f\cdot g)\leq\operatorname{deg}(f)+\operatorname{deg}(g)
(Enthält R keine Nullteiler – präziser: sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler – gilt die Gleichheit.)
  • \operatorname{deg}(f+g)\leq\operatorname{max}\left\{\operatorname{deg}(f),\operatorname{deg}(g)\right\}.

Aus diesem Gradsatz folgt insbesondere, dass, wenn R ein Körper ist, die Einheiten genau den Polynomen mit Grad null entsprechen, und das sind die Konstanten ungleich null.

Bei einem Körper R wird R[X] durch die Gradfunktion zu einem euklidischen Ring: Es gibt eine Division mit Rest, bei der der Rest einen kleineren Grad als der Divisor hat.

Beispiele
  1. Sei R := \Z der Ring der ganzen Zahlen. Dann sind f := 1+2X \ne 0 und g := 1+3X \ne 0 beide vom Grad 1. Das Produkt f\cdot g = 1+5X+6X^2 hat den Grad 2, wie sich auch aus \operatorname{deg}(f\cdot g) = \operatorname{deg}(f)+\operatorname{deg}(g) ausrechnet.
  2. Sei R := \Z/6\Z der Restklassenring modulo 6 (ein Ring mit den nicht-trivialen Nullteilern 2 und 3) und wie oben f := 1+2X und g := 1+3X. Beide sind \not\equiv 0 \mod 6 und auch hier vom Grad 1. Aber f\cdot g = 1+5X+6X^2 \equiv 1+5X \mod 6 hat den Grad 1 und 1 = \operatorname{deg}(f\cdot g) < \operatorname{deg}(f)+\operatorname{deg}(g) = 2.

Gradsatz für Polynome in mehreren Veränderlichen[Bearbeiten]

Bei einem Monom

 a_{k_1,\dotsc,k_n}\, X_1^{k_1}\dotsm X_n^{k_n}

definiert man die Summe der Exponenten

 k_1+\dotsc+k_n

als den Totalgrad des Monoms, falls  a_{k_1,\dotsc,k_n}\,\neq 0 . Der Grad d des nichtverschwindenden Polynoms

 \sum_{k=(k_1,\dotsc,k_n)\in\N_0^n} {a_k\, X_1^{k_1}\dotsm X_n^{k_n}}

in mehreren Veränderlichen wird definiert als der maximale Totalgrad der (nichtverschwindenden) Monome. Eine Summe von Monomen von gleichem Totalgrad ist ein homogenes Polynom. Die Summe aller Monome vom Grad d, d. i. das maximale homogene Unterpolynom von maximalem Grad, spielt (bezogen auf alle Veränderliche zusammen) die Rolle des Leitkoeffizienten. (Der Leitkoeffizient einer einzelnen Unbestimmten ist ein Polynom in den anderen Unbestimmten.)

Der Gradsatz gilt auch für Polynome in mehreren Veränderlichen.

Elementare Operationen, Polynomalgebra[Bearbeiten]

In der Polynomschreibweise sehen Addition und Multiplikation für Elemente f=\sum_{i=0}^m f_i X^i und g=\sum_{i=0}^n g_i X^i des Polynomrings R[X] wie folgt aus:

f+g = \sum_{k=0}^{\max(m,n)}(f_k+g_k)X^k,
f\cdot g = \sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{i+j=k} f_i\cdot g_j\right)X^k

Der Polynomring R[X] ist nicht nur ein kommutativer Ring, sondern auch ein Modul über R, wobei die Skalarmultiplikation gliedweise definiert ist. Damit ist R[X] sogar eine kommutative assoziative Algebra über R.

Homomorphismen[Bearbeiten]

Falls A und B kommutative Ringe mit 1 sind und \varphi\colon A\to B ein Homomorphismus ist, dann ist auch

\tilde\varphi \colon A[X]\to B[X],\quad \sum_{i=1}^{n} {a_iX^i}\,\mapsto\,\sum_{i=1}^{n} \varphi (a_i)X^i ein Homomorphismus.

Falls A und B kommutative Ringe mit 1 sind und  \varphi\colon A\to B ein Homomorphismus ist, dann gibt es für jedes b\in B einen eindeutigen Homomorphismus \phi_b\colon A[X]\to B, der eingeschränkt auf A gleich \varphi ist und für den  \phi_b(X)=b gilt, nämlich  \phi_b \left(\sum {a_iX^i}\right)=\sum {\varphi(a_i)b^i} .

Algebraische Eigenschaften[Bearbeiten]

Ist R ein kommutativer Ring mit 1, so gilt:

  • Ist R nullteilerfrei, so auch R[X].
  • Ist R faktoriell, so auch R[X] (Lemma von Gauß)
  • Ist K ein Körper, so ist K[X] euklidisch und daher ein Hauptidealring.
  • Ist R noethersch, so gilt für die Dimension des Polynomrings in einer Variablen über R: \mathrm{dim}(R[X])=
\mathrm{dim}(R)+1
  • Ist R noethersch, so ist der Polynomring R[X_1,\ldots,X_n] mit Koeffizienten in R noethersch. (Hilbertscher Basissatz)
  • Ist R ein Integritätsring und 0\neq f\in R[X], so hat  f maximal \mathrm{deg}(f) Nullstellen. Dies ist über Nicht-Integritätsringen im Allgemeinen falsch.
  • Ein Polynom f=a_nX^n+\ldots+a_0\in R[X] ist genau dann in R[X] invertierbar, wenn a_0 invertierbar ist und alle weiteren Koeffizienten nilpotent in R sind. Insbesondere ist ein Polynom f\in R[X] über einem Integritätsring R genau dann invertierbar, wenn es ein konstantes Polynom a_0 ist, wobei a_0 eine Einheit in R ist.

Polynomfunktion und Einsetzungshomomorphismus[Bearbeiten]

Ist

f=a_0+a_1X+\dotsb+a_nX^n

ein Polynom aus R[X], so nennt man

 f_R\colon R\to R,\quad x\mapsto f_R(x)=a_0+a_1x+\dotsb+a_nx^n

die zu f gehörende Polynomfunktion. Allgemeiner definiert f auch für jede Erweiterung S von R eine Polynomfunktion f_S\colon S\to S,\ x\mapsto f_S(x). Der Index wird oft weggelassen.

Umgekehrt gibt es für ein festes Element s\in S einer kommutativen Erweiterung S von R bei variablem Polynom einen Ringhomomorphismus

\Phi_s\colon R[X] \rightarrow S,\quad f\mapsto f_S(s)

bzw.

a_0 + a_1X + a_2X^2 + \dotsb + a_nX^n \longmapsto a_0 + a_1 s + \dotsb + a_n s^n,

der Auswertung(-shomomorphismus) für s oder Einsetzung(-shomomorphismus) von s genannt wird.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Setzen wir S = R[X] und s = X, so ist \Phi_X\colon R[X] \rightarrow R[X],\ f\mapsto f_{R[X]}(X)=f die identische Abbildung; \Phi_X = \operatorname{Id}_{R[X]}.
  • Betrachten wir einen Polynomring R[X, X_1, X_2, \dotsc, X_n] mit zusätzlichen Unbestimmten X_1, X_2, \dotsc, X_n (s. Polynome mit mehreren Veränderlichen) als Erweiterung von R[X], ergibt sich analog zur Konstruktion aus vorigem Beispiel der Einsetzungshomomorphismus \Phi_X\colon R[X] \rightarrow R[X,Y],\ f\mapsto f_{R[X,Y]}(X)=f als Monomorphismus von R[X] in R[X, X_1, X_2, \dotsc, X_n].

Beispiele[Bearbeiten]

Ein Polynom über einem endlichen Körper[Bearbeiten]

Da in dem endlichen Körper \mathbb F_q die Einheitengruppe zyklisch mit der Ordnung q-1 ist, gilt für x \in \mathbb F_q die Gleichung x^q=x. Deswegen ist die Polynomfunktion f_{\mathbb F_q}\colon \mathbb F_q \to \mathbb F_q des Polynoms

f=X^q-X=\prod_{a \in \mathbb F_q}(X-a) \in \mathbb F_q[X]

die Nullfunktion, obwohl f nicht das Nullpolynom ist.

Ist q eine Primzahl, dann entspricht dies genau dem kleinen fermatschen Satz.

Ein Polynom mit zwei Veränderlichen[Bearbeiten]

Sei f=X^2+Y^2-1 \in \mathbb{R}[X,Y] . Die reellen Nullstellen dieses Polynoms sind alle Punkte der Einheitskreislinie, in Formeln

N=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 :x^2+y^2=1\}.

Es gibt hier also unendlich viele Nullstellen, anders als in \mathbb{Z}[X] oder \mathbb{R}[X] , wo jedes Polynom nur endlich viele Nullstellen hat.

Polynome im Komplexen[Bearbeiten]

Jedes komplexe Polynom f\in \Bbb C[X] vom Grad n hat genau n Nullstellen in  \mathbb{C} , wenn man jede Nullstelle gemäß ihrer Vielfachheit zählt. Dabei heißt eine Nullstelle z k-fach, falls (X-z)^k ein Teiler von f ist, (X-z)^{k+1} dagegen nicht mehr.

Insbesondere gilt dieser Fundamentalsatz der Algebra auch für reelle Polynome f\in\R[X], wenn man diese als Polynome in \Bbb C[X] auffasst. Zum Beispiel hat das Polynom  X^2+1 die Nullstellen \mathrm{i} und -\mathrm{i}, da  \mathrm{i}^2=-1 und ebenso  (-\mathrm{i})^2=-1, also gilt  X^{2}+1=(X+\mathrm{i})(X-\mathrm{i}).

Literatur[Bearbeiten]