Algebraische Struktur

Der Begriff der algebraischen Struktur (oder universelle Algebra, allgemeine Algebra oder nur Algebra) ist ein Grundbegriff und zentraler Untersuchungsgegenstand des mathematischen Teilgebietes der universellen Algebra. Eine algebraische Struktur ist eine Menge versehen mit Verknüpfungen auf dieser Menge. Eine Vielzahl der in der abstrakten Algebra untersuchten Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper sind spezielle algebraische Strukturen.

Verallgemeinerungen algebraischer Strukturen sind die partiellen Algebren, die heterogenen Algebren und die relationalen Strukturen.

Definition der algebraischen Struktur

Eine algebraische Struktur oder allgemeine Algebra ist ein Paar

$\left(A, (f_i)\right),$

bestehend aus einer nichtleeren Menge $\ A$, der Trägermenge der Algebra, und einer Familie $\left(f_i\right)$ von (endlichstelligen) Verknüpfungen, auch fundamentale Operationen genannt, auf $A$.

Eine $n$-stellige Verknüpfung auf $A$ ist eine Funktion $f\colon A^n\to A,$ die $n$ Elemente $a_1,\ldots,a_n$ aus $A$ immer auf ein (eindeutig bestimmtes) Element $b$ aus $A$ abbildet, $b$ ist dann das Bild von $a_1,\ldots,a_n$ (Schreibweise: $b = f(a_1,\ldots,a_n)$). Ein Element aus $A$ kann als eine nullstellige Verknüpfung, auch Konstante genannt, interpretiert werden, besondere Elemente werden meist mit einem speziellen Symbol (z. B. einem Buchstaben oder einem Zahlzeichen wie $\ e$, 0, 1) bezeichnet. Eine einstellige Verknüpfung ist eine Funktion von $A$ nach $A,$ die oft durch ein Symbol bezeichnet wird, das unmittelbar (d. h. ohne zusätzliche Klammern oder Trennzeichen) vor, hinter, über etc. das Element (Argument) geschrieben wird.

Beispiel: ${-}a, a^{-1}, a!, \overline{a}$

Beim Bild einer zweistelligen Verknüpfung wird in der Regel das Verknüpfungssymbol zur Vereinfachung zwischen die beiden Argumente geschrieben.

Beispiel: $a+b, a\cdot b, f\circ g$ an Stelle von $+(a,b), \cdot(a,b), \circ(f,g)$

Meistens hat eine Algebra nur endlich viele Verknüpfungen $f_1,\ldots,f_m,$ man schreibt dann für die Algebra einfach nur $(A,f_1,\ldots,f_m).$

Der Typ oder die Signatur einer Algebra beschreibt die Stelligkeiten der Verknüpfungen. So wird zum Beispiel eine Gruppe meist als Struktur $(G,\cdot,{}^{-1},1)$ aufgefasst, wobei $G$ die Grundmenge ist, $\cdot$ eine Funktion von $G\times G$ nach $G$ (also eine zweistellige Funktion), ${}^{{-1}}$ eine einstellige Funktion von $G$ nach $G$ und $1$ eine Konstante aus $G$. Abkürzend schreibt man: Der Typ einer Gruppe ist (2,1,0).

Bemerkungen

• Jede nichtleere Menge $A$ lässt sich zu einer trivialen Algebra $(A,\operatorname{id})$ machen mit der identischen Abbildung $\operatorname{id}\colon A \to A$, $\operatorname{id}(a) = a$ für alle $a\in A$. Ebenso kann $(A)$ als eine Algebra mit einer leeren Familie von Verknüpfungen aufgefasst werden.
• Manchmal erweist es sich auch als zweckmäßig, die leere Menge $A = \emptyset$ als Trägermenge einer Algebra zuzulassen, etwa damit sichergestellt ist, dass die Menge aller Unteralgebren (siehe unten) einer Algebra einen algebraischen Verband bildet.
• Man könnte sogar „unendlichstellige Algebren“ mit unendlichstelligen Operationen zulassen (z. B. σ-Algebren), dies würde jedoch dem üblichen Verständnis von „algebraisch“ widersprechen.
• Eine Verallgemeinerung allgemeiner (vollständiger) Algebren sind partielle Algebren, bei welchen nicht nur totale Funktionen sondern auch partielle Funktionen als Verknüpfung zugelassen sind. Z. B. sind Körper (K,+,0,-,·,1,⁻¹) streng genommen keine vollständigen Algebren, weil ⁻¹ nur auf K\{0} definiert ist.

Spezifizierung algebraischer Strukturen

Nachdem die Verknüpfungen angegeben sind, spezifiziert man die Natur der Algebra näher durch Axiome, die in der abstrakten Algebra (Teilgebiet der Mathematik) meist in Form von Gleichungen geschrieben werden und gegebene Eigenschaften der Verknüpfungen festlegen. Ein Beispiel ist das Assoziativgesetz für eine zweistellige Verknüpfung:

$a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$ für alle Elemente $\ a, b, c$ aus $A$.

Unterstrukturen (Unteralgebren)

Ist $A$ die Grundmenge einer algebraischen Struktur, so kann man mit Hilfe der Verknüpfungen von $A$ auf einer Teilmenge $B \subseteq A$ von A eine neue algebraische Struktur des gleichen Typs definieren, falls die Menge $B$ so gewählt ist, dass die Verknüpfungen der ursprünglichen Struktur nicht aus der Menge $B$ herausführen. Das bedeutet, wenn man die Verknüpfungen der ursprünglichen algebraischen Struktur auf die Elemente von $B$ anwendet, dürfen keine Elemente entstehen, die nicht in $B$ sind – insbesondere müssen die Konstanten bereits in $B$ enthalten sein. In der konkreten Anwendung sind z. B. Untergruppen die Unterstrukturen einer Gruppe. Je nachdem, wie man die Gleichungen zur Definition der algebraischen Struktur gewählt hat, können die Unterstrukturen aber ganz verschieden aussehen. So lassen sich z. B. Gruppen so definieren, dass die Unterstrukturen Normalteiler sind.

Homomorphismen

Strukturtreue Abbildungen, sogenannte Homomorphismen, zwischen je zwei algebraischen Strukturen $A$ und $B$ vom selben Typ (sie haben also Verknüpfungen von jeweils gleichen Stelligkeiten und gegebenen spezifischen Eigenschaften) sind mit den Verknüpfungen der beiden algebraischen Strukturen verträglich. Jede algebraische Struktur hat deshalb ihren eigenen Homomorphismus-Begriff und definiert daher eine Kategorie.

Einander entsprechende Verknüpfungen in $A$ und $B$ werden meist mit dem gleichen Symbol bezeichnet. So wird etwa in jeder betrachteten Gruppe die Gruppenoperation einheitlich z. B. $\cdot$ geschrieben. Müssen im Einzelfall die beiden Verknüpfungen auseinandergehalten werden, werden in der Regel die Symbole ihrer Grundmengen oder ähnliches als Indizes beigefügt, also z. B. $\cdot_A$ und $\cdot_B$. Ein Homomorphismus $\varphi\colon A\to B$ ist eine Funktion, die für jede Verknüpfung $f$ (mit der Stelligkeit $n$) die folgende Bedingung erfüllt:

$\varphi(f_A(x_1,\ldots,x_n)) = f_B(\varphi(x_1),\ldots,\varphi(x_n)).$

Die besonderen Schreibweisen, der null-, ein- und zweistelligen Verknüpfungen werden berücksichtigt:

• Sind $k_A,k_B\,\!$ jeweils Konstanten (0-stellige Verknüpfungen), dann ist $\varphi(k_A) = k_B.$
• Ist $-$ jeweils eine einstellige Verknüpfung, dann ist $\varphi(-(x)\,\!) = -(\varphi(x))$ Eine einstellige Verknüpfung kann auch als Exponent, Index usw. geschrieben werden, so ergibt sich z. B. mit $x^{-1} := {}^{-1}(x)\,\!$ und mit $\varphi(x)^{-1} := {}^{-1}(\varphi(x))\,\!$ dann $\varphi(x^{-1}) = \varphi(x)^{-1}.$
• Für zweistellige Verknüpfungen $+$ ist $\varphi(x_1 + x_2) = \varphi(x_1) + \varphi(x_2).$

Ein surjektiver Homomorphismus wird Epimorphismus genannt, ein injektiver Monomorphismus. Ein Homomorphismus von $A$ in sich (also falls $B = A$ gilt) heißt Endomorphismus. Ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrfunktion ebenfalls ein Homomorphismus ist, heißt Isomorphismus. Ist der Isomorphismus gleichzeitig auch Endomorphismus, so heißt er Automorphismus.

Siehe auch: Homomorphiesatz.

Kongruenzrelationen

Auf algebraischen Strukturen lassen sich spezielle Typen von Äquivalenzrelationen finden, die mit den Verknüpfungen einer algebraischen Struktur verträglich sind. Diese werden dann Kongruenzrelationen genannt. Mit Hilfe von Kongruenzrelationen lassen sich Faktoralgebren bilden, d. h. es wird aus der ursprünglichen algebraischen Struktur eine Struktur gleichen Typs erzeugt, deren Elemente allerdings dann die Äquivalenzklassen bezüglich der Kongruenzrelation sind. Die Verknüpfungen sind aufgrund der speziellen Eigenschaften der Kongruenzrelation wohldefiniert. In vielen konkreten Anwendungen entsprechen die Äquivalenzklassen den Neben- bzw. Kongruenzklassen bestimmter Unterstrukturen z. B. Normalteilern bei Gruppen oder Idealen bei Ringen usw.

Produkte

Bildet man das mengentheoretische direkte Produkt der Grundmengen mehrerer allgemeiner Algebren des gleichen Typs, so kann man wiederum eine neue Algebra gleichen Typs auf dieser Produktmenge erhalten, indem man die neuen Verknüpfungen dieser Algebra komponentenweise durch die Verknüpfungen der ursprünglichen Algebren definiert. Diese kann allerdings andere Eigenschaften haben, als die ursprüngliche Algebra; z. B. muss das Produkt von Körpern nicht mehr ein Körper sein.

Für eine Verallgemeinerung des direkten Produktes von Algebren siehe: Subdirektes Produkt. Dort wird auch der Darstellungssatz von Birkhoff vorgestellt, nach dem jede Algebra subdirektes Produkt subdirekt irreduzibler Algebren ist.

„Zoo“ der algebraischen Strukturen

Beispiel: Gruppen

Als Beispiel für die Definition einer allgemeinen Algebra betrachten wir eine Gruppe. Üblicherweise ist eine Gruppe definiert als eine Menge A mit einer zweistelligen Verknüpfung *, wobei die folgenden drei Axiome erfüllt sind:

• x * (y * z) = (x * y) * z (Assoziativität)
• es gibt ein e so dass e * x = x = x * e (neutrales Element)
• für jedes x gibt es ein i so dass x * i = e = i * x (inverses Element)

(Manchmal findet man noch die Forderung der „Abgeschlossenheit“, dass x * y wieder in A liegen soll, aber aus der Sicht eines Algebraikers beinhaltet der Begriff der „zweistelligen Verknüpfung“ diese Eigenschaft bereits.)

Diese Definition hat aber die Eigenschaft, dass die Axiome nicht allein durch Gleichungen ausgedrückt werden, sondern auch den Quantor „es gibt … so dass“ enthalten; in der allgemeinen Algebra versucht man deshalb solche Axiome zu vermeiden. Die Vereinfachung der Axiome auf eine reine Gleichungsform ist hier nicht schwierig: Wir fügen eine 0-stellige Verknüpfung e und eine einstellige Verknüpfung „⁻¹“ hinzu und definieren eine Gruppe als eine Menge A mit einer zweistelligen Verknüpfung *, einem Element e und einer einstelligen Verknüpfung „⁻¹“, die den folgenden Axiomen genügt:

• x * (y * z) = (x * y) * z
• e * x = x = x * e
• x * (x⁻¹) = e = (x⁻¹) * x

Es ist nun wichtig zu prüfen, ob damit tatsächlich die Definition einer Gruppe erreicht wurde. Es könnte ja sein, dass dadurch noch nicht alle Eigenschaften einer Gruppe gegeben sind oder gar zuviele. Tatsächlich stimmen die beiden Definitionen einer Gruppe überein.

Arten von Algebraischen Strukturen

In der folgenden Liste werden alle (2-stelligen) Verknüpfungen, neutrale Elemente (= 0-stellige Verknüpfungen), Inversenabbildungen (= 1-stellige Verknüpfungen) und Operatorbereiche angegeben.

Im normalen Gebrauch gibt man dagegen für algebraische Strukturen nur die zweistelligen Verknüpfungen und die Operatorbereiche an (manchmal noch die neutralen Elemente), für alle anderen gibt es meist Standardnotationen.

Eine nicht vollständige Liste verschiedener algebraischer Strukturen:

• Gruppoid oder Magma, auch Binar oder Operativ (O,*): eine nichtleere Menge O mit einer zweistelligen Verknüpfung *.
• Quasigruppe (Q,*): ein Gruppoid in dem zu je zwei Elementen a, b die Gleichungen a*x=b und y*a=b stets eindeutige Lösungen x, y in Q besitzen (x und y können verschieden sein). Äquivalent dazu: eine Equasigruppe (siehe unten).
• Loop (L,*,1): eine Quasigruppe mit einem neutralen Element 1.
• Halbgruppe (S,*): ein assoziatives Gruppoid.
• Band (B,*): eine idempotente Halbgruppe.
• Halbverband (H,*): eine kommutative Band.
• Monoid (M,*,1): eine Halbgruppe mit einem neutralen Element 1.
• Gruppe (G,*,1,⁻¹): ein Monoid mit einem inversen Element a⁻¹ zu jedem Element a – oder äquivalent dazu: eine assoziative Quasigruppe oder eine assoziative Loop.
• Abelsche Gruppe (G,+,0,-): eine kommutative Gruppe. Abelsche Gruppen werden meist additiv geschrieben. Das neutrale Element einer abelschen Gruppe wird mit 0 und das „Inverse“ eines Elements a als das Negative -a bezeichnet.
• Verband (V, $\cup$, $\cap$): eine Menge V mit zwei Verknüpfungen $\cup$ (z. B. Vereinigung) und $\cap$ (z. B. Durchschnitt), so dass (V, $\cup$) und (V, $\cap$) kommutative Halbgruppen sind und die Absorptionsgesetze erfüllt werden. (V, $\cup$) und (V, $\cap$) sind dann Halbverbände.
• Halbring (H,+,·): eine Menge H mit zwei Verknüpfungen + (Addition) und · (Multiplikation), mit denen (H,+) und (H,·) Halbgruppen sind und die Distributivgesetze erfüllt werden. Oft soll (H,+) aber auch noch kommutativ sein und/oder ein neutrales Element 0 besitzen, die Definitionen sind hier nicht einheitlich!
• Dioid (D,+,0,·,1): eine Menge D mit zwei Verknüpfungen + (Addition) und · (Multiplikation), so dass (D,+,0) und (D,·,1) Monoide sind und die Distributivgesetze erfüllt werden.
• Boolescher Verband oder Boolesche Algebra (B, $\cup$, 0, $\cap$,1,^c): ein Dioid, der ein Verband (B, $\cup$, $\cap$) ist mit einem Komplement a^c zu jedem Element a. Äquivalent dazu: ein Boolescher Ring (siehe unten).
• Ring (R,+,0,-,·): ein Halbring, so dass (R,+,0,-) eine abelsche Gruppe ist.
• Unitärer Ring (R,+,0,-,·,1): ein Ring mit neutralem Element 1 für die Multiplikation.
• Boolescher Ring (R,+,0,-,·,1): ein unitärer Ring, bei dem (R,·) einen Halbverband bildet. Äquivalent dazu: ein Boolescher Verband.
• Integritätsring oder Integritätsbereich (I,+,0,-,·,1): ein unitärer, kommutativer Ring (mit 0 $\neq$ 1), für den $(I\setminus\{0\},\cdot,1)$ ein (kürzbares) Monoid ist.
• Schiefkörper (K,+,0,-,·,1,⁻¹): ein Ring, bei dem (K\{0},·,1,⁻¹) eine Gruppe ist.
• Körper (K,+,0,-,·,1,⁻¹): ein Schiefkörper, der kommutativ ist.
• Equasigruppe (E,*,\,/): ein Gruppoid mit zwei weiteren Verknüpfungen \ (Linksdivision) und / (Rechtsdivision), so dass für je zwei Elemente a, b gilt: a*(a\b) = b und (b/a)*a = b. D.h. zu je zwei Elementen existieren stets ein eindeutiger Links- und ein eindeutiger Rechtsquotient (diese können verschieden sein). Äquivalent dazu: eine Quasigruppe.
• Multiplikativer Verband oder kurz m-Verband, auch Verbandsgruppoid, verbandsgeordnetes Gruppoid oder kurz l-Gruppoid (engl.: lattice = Verband) (L, $\cup$, $\cap$, ·): ein Verband (L, $\cup$, $\cap$) mit einer weiteren Verknüpfung · (Multiplikation), so dass die Distributivgesetze mit $\cup$ als Addition erfüllt werden.
• Das Konzept der Kleene-Algebra ist eine Verallgemeinerung der regulären Ausdrücken entsprechenden Operationen auf regulären Sprachen, Vereinigung, Konkatenation und Kleene-Stern.

Für eine ausführlichere Übersicht siehe Hierarchie mathematischer Strukturen.

Mischstrukturen

Algebraische Strukturen können gleichzeitig auch nicht-algebraische Strukturen sein, wie z. B. topologische Räume. Eine topologische Gruppe ist ein topologischer Raum mit einer Gruppenstruktur, so dass die Operationen Multiplikation und Inversenbildung stetig sind. Eine topologische Gruppe hat sowohl eine topologische, als auch eine algebraische Struktur. Andere häufige Beispiele sind topologische Vektorräume und Lie-Gruppen.

Ausblick

Dieser Artikel reicht nicht aus, die Vielfalt der Ergebnisse der allgemeinen Algebra zu zeigen. Die Motivation der allgemeinen Algebra ist die große Anzahl verschiedener Algebren (im Sinne der allgemeinen Algebra), wie z. B. Gruppen, Monoide, Verbände, die aber alle ähnliche Theoreme zulassen. Vor der Entwicklung der allgemeinen Algebra wurden viele Theoreme (vor allen die Isomorphiesätze) für jede Struktur einzeln bewiesen, aber nun kann man sie ein einziges Mal für alle Arten algebraischer Strukturen beweisen.

Eine noch allgemeinere Idee liegt der Kategorientheorie zugrunde. Sie ist auf viele Situationen anwendbar, die in universeller Algebra nicht darstellbar sind (etwa topologische Sachverhalte), und liefert so weiter reichende Aussagen. Umgekehrt lassen sich manche Aussagen der allgemeinen Algebra nicht auf alle Kategorien übertragen. So sind also beide Teilgebiete nützlich. Die Verbindung zwischen ihnen ist diese: Für vorgegebene Verknüpfungen und Axiome bilden die zugehörigen Algebren und Homomorphismen eine Kategorie.

Literatur

•  Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3rd Ed. AMS, Providence, RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
•  Stanley Burris, H.P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag, New York 1981, ISBN 3-540-90578-2.
•  P. M. Cohn: Universal Algebra. Harper & Row, New York 1965.
•  H. Ehrig, B. Mahr, F. Cornelius, M. Grosse-Rhode, P. Zeitz: Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik. Springer-Verlag, Berlin et al. 2001, ISBN 3-540-41923-3.
•  Roger Godement: Algebra. Hermann, Paris 1968.
•  G. Grätzer: Universal Algebra. D. Van Nostrant Co., Inc., Princeton (NJ) et al 1968.
•  Pierre Antoine Grillet: Abstract Algebra. 2nd Ed.. Springer Science+Business Media, New York 2007, ISBN 978-0-387-71567-4.
•  Th. Ihringer: Allgemeine Algebra. Heldermann Verlag, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9.
•  N. Jacobson: Basic Algebra I/II. W. H. Freeman, San Francisco 1980, ISBN 0-7167-1480-9/ISBN 0-7167-1933-9.
•  K. Meyberg: Algebra, Teil 1/2. Carl Hanser Verlag, München 1975/76, ISBN 3-446-11965-5/ISBN 3-446-12172-2.
•  B.L. van der Waerden: Algebra I/II. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1971 und 1967, ISBN 3-540-03561-3/ISBN 3-540-03869-8.
•  Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.
•  Jorge Martinez: Ordered Algebraic Structures. Springer, 2002, ISBN 1402007523.