Adjunktion (Kategorientheorie)

Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zwei Funktoren $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ und $G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ zwischen Kategorien ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {D}}$ heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt.

Definition

Zwei Funktoren $F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ und $G\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ zwischen Kategorien ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {D}}$ bilden ein adjungiertes Funktorpaar, wenn die Funktoren

$(X,Y)\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(X,FY)$

und

$(X,Y)\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(GX,Y)$

von ${\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}$ in die Kategorie der Mengen Set natürlich äquivalent sind. (Zusammen mit den beiden Kategorien und den beiden Funkoren bildet die natürliche Äquivalenz eine Adjunktion.)

$F$ heißt rechtsadjungiert zu $G$, $G$ heißt linksadjungiert zu $F$.

Einheit und Koeinheit der Adjunktion

Ist $t$ die natürliche Äquivalenz $\operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(\cdot _{1},F(\cdot _{2}))\to \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(G(\cdot _{1}),\cdot _{2})$, so heißen die natürlichen Transformationen

$\eta :\operatorname {id} _{\mathcal {D}}\to FG$

$X\mapsto t_{(X,GX)}^{-1}(\operatorname {id} _{GX})$

und

$\varepsilon :GF\to \operatorname {id} _{\mathcal {C}}$

$Y\mapsto t_{(FY,Y)}(\operatorname {id} _{FY})$

Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.

Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen

$F\rightarrow FGF\rightarrow F$

und

$G\rightarrow GFG\rightarrow G$

die Identität ergeben. Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen eine Adjunktion bestimmen.

Eigenschaften

• Sind $F$ und $G$ quasi-invers zueinander, so ist $F$ rechts- und linksadjungiert zu $G$.
• Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites (sind also linksexakt), linksadjungierte Funktoren erhalten Kolimites (sie sind rechtsexakt).
• Ist $F$ rechtsadjungiert zu $G$, $\eta \colon \mathrm {id} _{\mathcal {D}}\to FG$ die Einheit, und $\varepsilon \colon GF\to \mathrm {id} _{\mathcal {C}}$ die Koeinheit der Adjunktion, so ist $(FG,\eta ,\mu )$ mit $\mu _{X}:=F(\varepsilon _{GX})$ eine Monade in ${\mathcal {D}}$.

Beispiele

• Der Funktor „freie abelsche Gruppe über einer Menge“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Ab → Set.
• Der Funktor „statte eine Menge mit der diskreten Topologie aus“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
• Der Funktor „disjunkte Vereinigung mit einem einpunktigen Raum“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top^* → Top.
• Der Funktor „Stone-Čech-Kompaktifizierung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie aller topologischer Räume.
• Der Funktor „Vervollständigung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der vollständigen metrischen Räume in die Kategorie aller metrischen Räume.
• Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zum Schleifenraum; beide Kategorien sind dabei die punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen von punktierten Abbildungen als Morphismen.
• In einer kartesisch abgeschlossenen Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist für jedes Objekt $S$ der Funktor $(-)\times S\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ linksadjungiert zum Funktor $(-)^{S}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$. Die sich durch diese Funktoren ergebende Monade, bei der die Objektabbildung $A\mapsto (A\times S)^{S}$ ist, ist gerade die Zustandsmonade mit Zustandsobjekt $S$.
• Fasst man Funktionen als spezielle Relationen auf, so ergibt sich ein Vergissfunktor $G\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Rel}$, mit $G(X)=X$ für Mengen $X$ und $G(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y$ für Funktionen $f\colon X\to Y$. Der zu $G$ rechtsadjungierte Funktor $F\colon \mathbf {Rel} \to \mathbf {Set}$ ordnet Mengen ihre Potenzmenge und Relationen $r\subseteq X\times Y$ die Funktion $M\mapsto \{y\mid (x,y)\in r,x\in M\}$ zu. Die $X$-Komponente der Einheit der Adjunktion, $\eta _{X}\colon X\to {\mathcal {P}}X$, ist $x\mapsto \{x\}$. Die $Y$-Komponente der Koeinheit der Adjunktion, $\varepsilon _{Y}\subseteq {\mathcal {P}}Y\times Y$, ist gerade die auf ${\mathcal {P}}Y$ beschränkte Elementrelation.

Literatur

• Steve Awodey: Category Theory (= Oxford Logic Guides. Band 49). Claredon Press, Oxford 2006, ISBN 978-0-19-856861-2 (9. Kapitel). 
• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). Springer, New York, ISBN 0-387-90035-7 (IV. Kapitel). 
• Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. Teubner, Stuttgart 1969, ISBN 978-3-663-12190-9, doi:10.1007/978-3-663-12190-9. 
• H. Schubert: Kategorien II (= Heidelberger Taschenbuch. Band 66). Springer, Berlin 1970, ISBN 978-3-540-04866-4, doi:10.1007/978-3-642-95156-5.