Monotone reelle Funktion

Eine reelle monotone Funktion ist eine Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, bei welcher der Funktionswert $f(x)$ immer entweder wächst, oder fällt, wenn man das Argument $x$ erhöht. Steigt der Funktionswert immer, wenn man das Argument erhöht, so heißt die Funktion monoton steigend, steigt der Zielfunktionswert immer, ohne jemals zu stagnieren, so heißt die Funktion streng monoton steigend. Analog heißt eine Funktion monoton fallend, wenn sie immer fällt, wenn man das Argument erhöht und streng monoton fallend, wenn sie immer fällt und niemals stagniert, wenn man das Argument erhöht. Reelle monotone Funktionen sind klassische Beispiele für monotone Abbildungen.

Definition

Eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$, wobei $D$ eine Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist, heißt

• monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x\leq y$ gilt, dass $f(x)\leq f(y)$.
• streng monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x<y$ gilt, dass $f(x)<f(y)$.
• monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x\leq y$ gilt, dass $f(x)\geq f(y)$.
• streng monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x<y$ gilt, dass $f(x)>f(y)$.
• monoton, wenn sie entweder monoton steigt oder monoton fällt.
• streng monoton, wenn sie entweder streng monoton steigt oder streng monoton fällt.

Manchmal werden die nicht strengen Monotoniebegriffe auch für $x<y$ definiert. Die beiden Definitionen sind gleichwertig. Synonym für „streng“ findet man auch „strikt“, monoton fallend wird gelegentlich auch antiton genannt, genauso wie monoton wachsend auch isoton genannt wird. Es findet sich auch die Bezeichnung „wachsend“ anstelle von „steigend“.

Beispiele

Graph der Funktion$f(x)=x^{2}$

Graph der Funktion$f(x)=\ln(x)$

• Die Funktion $f(x)=x^{2}$ ist auf $(-\infty ,0]$ streng monoton fallend. Ist nämlich $x<y\leq 0$, so ist $x-y<0$ und $x+y<0$. Die Bedingung, dass $f(x)=x^{2}>f(y)=y^{2}$ sein soll, ist äquivalent zu $x^{2}-y^{2}>0$. Es ist aber mit der dritten binomischen Formel

$x^{2}-y^{2}=\underbrace {(x+y)} _{<0}\underbrace {(x-y)} _{<0}>0$,

also ist $f$ streng monoton fallend auf $(-\infty ,0]$. Der Nachweis, dass $f$ streng monoton wachsend auf $[0,\infty )$ ist, funktioniert analog, aber mit dem Argument, dass $x+y>0$ wenn $y>x\geq 0$ ist. Damit ist die Funktion aber nicht monoton auf $[-1,1]$, da sie auf diesem Intervall kein festes Monotonieverhalten besitzt.

• Der Logarithmus ist streng monoton wachsend auf $(0,\infty )$. $\ln(x)<\ln(y)$ ist wieder äquivalent zu $\ln(x)-\ln(y)<0$. Dann ist

$\ln(x)-\ln(y)=\ln(x/y)<0$,

wenn $x<y$, da dann $0<{\tfrac {x}{y}}<1$ ist und dementsprechend $\ln(x/y)<0$. Also ist $\ln(x)<\ln(y)$. Somit ist der Logarithmus streng monoton wachsend und demnach auch streng monoton.

• Die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ für }}x<0\\0&{\text{ für }}x\geq 0\end{cases}}$

ist monoton fallend auf dem Intervall $[-1,1]$, aber nicht streng monoton fallend. Der Nachweis der Monotonie in der linken Hälfte des Intervalls folgt dem ersten Beispiel, auf dem Intervall $[0,1]$ ist jedoch $f(x)-f(y)=0$ und damit kann keine strikte Monotonie gelten. Somit ist die Funktion monoton fallend und damit auch monoton.

Eigenschaften

Für eine reelle monotone Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit $D\subseteq \mathbb {R}$ gilt:

• Streng monotone Funktionen sind stets injektiv, sie nehmen also jeden Wert nur höchstens einmal an. Ist $f:I\to \mathbb {R}$ streng monoton und $I$ ein Intervall und $I':=f(I)$ die Bildmenge, so ist $f:I\to I'$ bijektiv. Daher existiert für streng monotone Funktionen auch immer die Umkehrfunktion. Beispielsweise ist die Sinusfunktion auf dem Intervall $[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]$ streng monoton wachsend. Schränkt man die Bildmenge auf das Intervall $[-1,1]$ ein, so ist sie bijektiv und damit invertierbar. Die Umkehrfunktion ist dann der Arkussinus $\arcsin :[-1,1]\to [-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]$.
• Sie hat in jedem Häufungspunkt ihres Definitionsbereichs $D$ einen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.
• Sie kann nur Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen haben.
• Die Menge der Sprungstellen in ihrem Definitionsbereich ist abzählbar, muss aber nicht notwendigerweise endlich sein.
• Sie ist fast überall differenzierbar, d. h. die Menge der Stellen, an denen $f$ nicht differenzierbar ist, bildet eine lebesguesche Nullmenge.
• Eine im Intervall $D=[a,b]$ definierte monotone Funktion ist dort Riemann-integrierbar.
• Für jede monoton wachsende Funktion gilt $(x-y)(f(x)-f(y))\geq 0$ für beliebige $x,y\in D$. Diese Eigenschaft nutzt man teilweise, um die Monotonie zu verallgemeinern, siehe letzter Abschnitt.
• Die Monotonie reeller Funktionen ist ein Spezialfall einer monotonen Abbildung. Im Falle einer monoton fallenden Funktion sind die sind beiden geordneten Mengen dann $(\mathbb {R} ,\leq )$ und $(\mathbb {R} ,\geq )$, die Abbildung ist die Funktion $f$.

Ableitungen als Monotoniekriterium

Kriterien

Ist die Funktion $f:(a,b)\mapsto \mathbb {R}$ differenzierbar, so lässt sich die Ableitung als Monotoniekriterium verwenden. Die Kriterien für strenge Monotonie lauten:

• Ist $f'(x)>0$ für alle $x\in (a,b)$, so wächst $f$ in $(a,b)$ streng monoton.
• Ist $f'(x)<0$ für alle $x\in (a,b)$, so fällt $f$ in $(a,b)$ streng monoton.

Zu beachten ist, dass dieses Kriterium nur hinreichend, aber nicht notwendig ist. Es gibt auch streng monotone Funktionen, deren Ableitung null wird, ein Beispiel ist weiter unten aufgeführt. Es lässt sich mit zusätzlichen Forderungen noch eine Verschärfung dieser Kriterien formulieren:

• Es ist $f'(x)\geq 0$ ($f'(x)\leq 0$) für alle $x\in (a,b)$ und die Ableitung ist auf keinem echten Teilintervall konstant gleich null (wobei ein echtes Intervall ein Intervall mit mehr als einem Element ist) genau dann, wenn $f$ streng monoton wachsend (streng monoton fallend) ist.

Die Kriterien für Monotonie lauten:

• $f'(x)\geq 0$ für alle $x\in (a,b)$ genau dann, wenn $f$ in $(a,b)$ monoton wächst.
• $f'(x)\leq 0$ für alle $x\in (a,b)$ genau dann, wenn $f$ in $(a,b)$ monoton fällt.

Bei diesen Kriterien handelt es sich um Äquivalenzen.

Alle genannten Kriterien lassen sich noch erweitern: Ist zusätzlich $f$ stetig auf $[a,b)$ (bzw. $(a,b]$ oder $[a,b])$), so gilt die Aussage über die Monotonie auch für das Intervall $[a,b)$ (bzw. $(a,b]$ oder $[a,b])$).

Beispiele

Der Graph der Funktion$f(x)=x^{3}$. Die Funktion ist streng monoton wachsend.

• Für die Exponentialfunktion $f(x)=e^{x}$ ist $f'(x)=e^{x}>0$ für alle $x\in \mathbb {R}$. Also ist sie streng monoton wachsend.
• Die Funktion $f(x)=x^{3}$ besitzt die Ableitung $f(x)=3x^{2}$, diese wird bei $x=0$ null. Aber die Funktion ist streng monoton wachsend. Ist nämlich $x<y$ und haben $x,y$ dasselbe Vorzeichen, so ist

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+y^{2}+xy)<0$.

Haben beide unterschiedliches Vorzeichen, so ist direkt $x^{3}-y^{3}<0$. Somit ist dies ein Beispiel dafür, dass die ersten beiden Kriterien nur hinreichend, aber nicht notwendig sind. Das dritte Kriterium greift hier aber: Die Ableitung der Funktion verschwindet bloß im Punkt $x_{0}=0$ und ist sonst größergleich null. Dies ist äquivalent zum monotonen Wachstum von $f$.

Umkehrfunktion

Sei $I\subset \mathbb {R}$ ein Intervall und $f\colon I\to \mathbb {R}$ sei streng monoton wachsend/fallend und stetig. Dann ist:

• die Bildmenge $I':=f\left(I\right)$ ein Intervall,
• $f\colon I\rightarrow I'$ bijektiv,
• die Umkehrfunktion $f^{-1}\colon I'\rightarrow I$ streng monoton wachsend/fallend und stetig,
• $f^{-1}\left(a\right)<b\iff a<f\left(b\right)$, wenn wachsend und
• $f^{-1}\left(a\right)<b\iff a>f\left(b\right)$, wenn fallend.

Verallgemeinerungen

K-monotone Funktionen

→ Hauptartikel: K-monotone Funktion

Verallgemeinert man den Monotoniebegriff für Funktionen $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, so definiert man auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ einen echten Kegel $K$ und betrachtet die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung $\preccurlyeq _{K}$ und die strikte verallgemeinerte Ungleichung $x\prec _{K}y$ sowie eine konvexe Menge $D$. Dann heißt eine Funktion $h:\mathbb {R} ^{n}\supset D\to \mathbb {R}$

• K-monoton wachsend (K-monoton fallend) wenn für alle $x,y\in D$ mit $x\preccurlyeq _{K}y$ gilt, dass $f(x)\leq f(y)$ (bzw. $f(x)\geq f(y)$)
• strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton fallend) wenn für alle $x\prec _{K}y$ gilt, dass $f(x)<f(y)$ (bzw. $f(x)>f(y)$) ist.

Wählt man als Vektorraum den $S^{n}$ (den Raum aller reellen symmetrischen Matrizen) und als Kegel den semidefiniten Kegel (bzw. als verallgemeinerte Ungleichung die Loewner-Halbordnung), so erhält man die Matrix-monotonen Funktionen.

Monotone Funktionen zwischen Vektorräumen gleicher Dimension

Eine Möglichkeit, Monotonie für Funktionen $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ zu verallgemeinern ist, für $x=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T},\,y=(y_{1},\dots ,y_{n})^{T}$ zu fordern, dass wenn $x_{i}\leq y_{i}$ für $i=1,\dots ,n$ ist, dass dann für eine monoton wachsende Funktion gelten soll, dass $h_{i}(x)\leq h_{i}(y)$ ist. Die Formulierung monoton fallender Funktionen und der strikten Versionen folgt analog. Dieses Vorgehen entspricht der Verallgemeinerung der Ordnung auf $\mathbb {R}$ auf die komponentenweise Halbordnung auf $\mathbb {R} ^{n}$.

Alternativ kann man die Eigenschaft von monoton wachsenden reellen Funktionen, dass für beliebige $x,y$ gilt, dass $(x-y)(f(x)-f(y))\geq 0$ ist verallgemeinern. Dies führt dann zu dem folgenden Monotoniebegriff: gegeben sei $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ und eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R} ^{n}$. Die Funktion heißt

• Monoton auf $D$, wenn $(x-y)^{T}(f(x)-f(y))\geq 0$ für alle $x,y\in D$ gilt.
• Strikt monoton auf $D$, wenn $(x-y)^{T}(f(x)-f(y))>0$ für alle $x,y\in D$ gilt.
• Gleichmäßig monoton auf $D$, wenn $(x-y)^{T}(f(x)-f(y))\geq \mu \Vert x-y\Vert ^{2}$ für alle $x,y\in D$ mit $x\neq y$ gilt.

Verallgemeinert man dies weiter, so erhält man den Begriff eines monotonen Operators.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 11., erweiterte Auflage. Springer Spektrum, WIesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00316-6, doi:10.1007/978-3-658-00317-3. 
• Konrad Königsberger: Analysis 1. 6., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-40371-X. 
• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online). 

Weblinks

• L.D. Kudryavtsev: Monotone function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Christian Franzki: Monotonie von Funktionen (Das Verhalten der Funktion im Vergleich zur Ableitungsfunktion). In: Mathematik-Wissen.de. 6. März 2012, abgerufen am 16. Mai 2015.