Komplexwertige Funktion

Eine komplexwertige Funktion ist eine spezielle Funktion in der Mathematik, deren Funktionswerte komplexe Zahlen sind. Eng damit verwandt ist der Begriff der komplexen Funktion, der in der Literatur aber nicht eindeutig verwendet wird. Komplexwertige Funktionen werden in der Analysis und in der Funktionentheorie untersucht und haben vielfältige Anwendungen wie zum Beispiel in der Physik und der Elektrotechnik, wo sie beispielsweise zur Beschreibung von Schwingungen dienen.

Definition

Komplexwertige Funktion

Eine komplexwertige Funktion ist eine Funktion

$f:D\to \mathbb {C}$

bei der die Zielmenge die Menge der komplexen Zahlen ist. An die Definitionsmenge $D$ sind keine Anforderungen gestellt.

Komplexe Funktion

Wie auch bei reellwertigen Funktionen und reellen Funktionen ist die Verwendung des Begriffes einer komplexen Funktion in der Literatur nicht eindeutig. Teilweise wird er synonym mit einer komplexwertigen Funktion verwendet, teilweise wird er auch nur für komplexwertige Funktionen einer komplexen Variable verwendet, also Funktionen

$f:\mathbb {C} \supset D\to \mathbb {C}$.

Spezialfälle

Teilweise wird auch noch der komplexwertigen Funktion ein Zusatz angehängt, um zu präzisieren, welche Struktur die Definitionsmenge hat. So heißt beispielsweise eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$

• komplexwertige Funktion einer reellen Variablen, wenn $D\subseteq \mathbb {R}$ ist,
• komplexwertige Funktion mehrerer reeller Variablen, wenn $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit $n>1$ ist,
• komplexwertige Funktion einer komplexen Variablen, wenn $D\subseteq \mathbb {C}$ ist,
• komplexwertige Funktion mehrerer komplexer Variablen, wenn $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ mit $n>1$ ist.

Wenn $D$ Teilmenge eines komplexen Vektorraums ist, dann wird eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ auch (komplexwertiges) Funktional genannt.

Beispiele

• Die Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ definiert durch

$f(x)=\exp(\mathrm {i} x)=\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)$

ist eine komplexwertige Funktion einer reellen Variable. Sie ist genau die Eulersche Formel.

• Mit $z=x+\mathrm {i} y$ ist die Exponentialfunktion

$\exp(z)=\exp(x+\mathrm {i} y)=\exp(x)\left(\cos(y)+\mathrm {i} \sin(y)\right)$

eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variable.

• Die Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C}$ defineirt durch

$f(x_{1},x_{2})=x_{1}+\mathrm {i} x_{2}$

ist eine komplexwertige Funktion von zwei reellen Variablen.

• Aufgrund der Einbettung der reellen Zahlen in die komplexen Zahlen lassen sich alle reellwertigen Funktionen auch als komplexwertige Funktionen auffassen.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung bilden die komplex-vektorwertigen Funktionen, diese bilden in den $\mathbb {C} ^{n}$ ab. Noch allgemeiner sind vektorwertige Funktionen, deren Bildraum ein beliebiger Vektorraum ist.

Weblinks

• Complex Function in Mathworld

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. 6., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-40371-X. 
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 11., erweiterte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00316-6, doi:10.1007/978-3-658-00317-3.