Fortsetzungssatz von Choquet

Der Fortsetzungssatz von Choquet ist ein mathematischer Lehrsatz, der angesiedelt ist im Übergangsfeld zwischen dem Gebiet der Maßtheorie und dem Gebiet der Funktionalanalysis und der auf den Mathematiker Gustave Choquet zurückgeht. Er zeigt, dass für einen Hausdorff-Raum ein von innen reguläres lokal endliches Maß auf der zugehörigen borelschen σ-Algebra schon unzweideutig festgelegt ist durch die zugehörige reelle Mengenfunktion auf dem Mengensystem der kompakten Teilmengen, sofern diese Mengenfunktion für sich allein schon gewissen "natürlichen" Bedingungen genügt. Der choquetsche Fortsetzungssatz ist eng verknüpft mit dem Darstellungssatz von Riesz-Markov-Kakutani und seine Bedeutung liegt nicht zuletzt darin, dass der Darstellungssatz auf ihn zurückgeführt werden kann.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum $X$, versehen mit der borelschen σ-Algebra ${\mathcal {B}}(X)$ und dem Mengensystem ${\mathcal {K}}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X)$ der kompakten Teilmengen von $X$.

Weiter gegeben sei eine Mengenfunktion

${\mu }_{0}\colon {\mathcal {K}}(X)\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}$ ,

welche den folgenden Bedingungen genügen möge:

(R_1) Für $K,L\in {\mathcal {K}}(X)$ mit $K\subseteq L$ gilt stets

${\mu }_{0}(K)\leq {\mu }_{0}(L)$ .

(R_2) Für $K,L\in {\mathcal {K}}(X)$ gilt stets

${\mu }_{0}(K\cup L)\leq {\mu }_{0}(K)+{\mu }_{0}(L)$ .

(R_3) Für $K,L\in {\mathcal {K}}(X)$ mit $K\cap L=\emptyset$ gilt stets

${\mu }_{0}(K\cup L)={\mu }_{0}(K)+{\mu }_{0}(L)$.

(R_4) Zu $K\in {\mathcal {K}}(X)$ und $\epsilon >0$ gibt es stets eine offene Umgebung $U$ von $K$ dergestalt, dass für alle $L\in {\mathcal {K}}(X)$ mit $L\subseteq U$ gilt:

${\mu }_{0}(L)\leq {\mu }_{0}(K)+\epsilon$ .

Unter diesen Gegebenheiten kann ${\mu }_{0}$ auf genau eine Weise zu einem von innen regulären lokal endlichen Maß

$\mu \colon {\mathcal {B}}(X)\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}\cup \{\infty \}$

fortgesetzt werden.

Es ist also

${\mu }_{0}={\mu }|_{{\mathcal {K}}(X)}$

und dabei hat man für alle $A\in {\mathcal {B}}(X)$

$\mu (A)=\sup\{{\mu }_{0}(K):K\in {\mathcal {K}}(X)\;,\;K\subseteq A\}$ .

Quellen und Hintergrundliteratur

• Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo 1987, ISBN 3-540-17850-3 (MR1028059). 
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2011, ISBN 978-3-642-17904-4, doi:10.1007/978-3-642-17905-1. 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.