Reguläres Maß

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Der Begriff der Regularität von Maßen dient der Charakterisierung von Maßen auf topologischen Räumen.

Definition[Bearbeiten]

Seien X ein Hausdorff-Raum und \mathcal{A} eine σ-Algebra auf X, die die Borelsche σ-Algebra enthält. Dann liegen insbesondere alle offenen, alle abgeschlossenen und alle kompakten Teilmengen von X in \mathcal{A}.

Ein Maß \mu\colon\mathcal{A}\rightarrow[0,\infty] heißt

  • von innen regulär, falls für jedes A\in\mathcal{A} gilt:
\mu(A)=\sup \{ \mu(K) \mid K\subset A,\ K\ \textrm{kompakt} \}\,,
  • von außen regulär, falls für jedes A\in\mathcal{A} gilt:
\mu(A)=\inf \{ \mu(U) \mid A\subset U,\ U\ \textrm{offen} \}\,,
  • regulär, wenn es von innen und von außen regulär ist.

Mitunter fordert man die innere Regularität nur für offene Mengen (in diesem Sinne ist dann das Haar-Maß regulär) oder fordert, dass es sich bei dem Maß um ein Borel-Maß handelt.

Eigenschaften und Beispiele[Bearbeiten]

Reguläre Maße erlauben in vielen Beweisen Approximationsargumente. Oft genügt es, gewisse Aussagen für kompakte oder offene Mengen zu zeigen, und diese dann durch die beiden Formeln auf messbare Mengen zu erweitern. Viele Maße sind regulär.

  • Allgemeiner gilt: Ist X ein lokalkompakter Hausdorffraum, der abzählbare Vereinigung kompakter Mengen ist, und ist \mu ein Borel-Maß auf X, das auf allen kompakten Mengen endlich ist, so ist \mu regulär.

Literatur[Bearbeiten]