Dreibein (Geometrie)

In der Geometrie versteht man unter einem Dreibein eine geometrische Figur des euklidischen Raums oder der euklidischen Ebene, welche aus einem gemeinsamen Punkt und drei von diesem Punkt ausgehenden Strecken oder Vektoren der gleichen Länge $d>0$ besteht. Es wird hier im Allgemeinen vorausgesetzt, dass diese Strecken bzw. Vektoren nicht alle auf einer Geraden liegen.

Begriffsbestimmungen und Erläuterungen

• Formal lässt sich ein Dreibein auffassen als ein Quadrupel ${\mathcal {D}}=(O,S_{1},S_{2},S_{3})$ mit drei paarweise verschiedenen Strecken $S_{1},S_{2},S_{3}$ des $\mathbb {R} ^{n}\;(n\geq 2)$, welche allesamt von dieselben Länge $d>0$ sind, dabei $O\in \mathbb {R} ^{n}$ als gemeinsamen Eckpunkt und ansonsten paarweise keinen weiteren gemeinsamen Punkt haben.
• Den Punkt $O$ bezeichnet man als Scheitelpunkt des Dreibeins ${\mathcal {D}}$.
• Insbesondere sind die vier Eckpunkte eines Dreibeins nicht kollinear und die neben dem Scheitelpunkt $O$ gegebenen Eckpunkte $P_{i}\;(i=1,2,3)$ fallen nicht mit dem Punkt $O$ zusammen.
• Für das Dreibein ${\mathcal {D}}=(O,S_{1},S_{2},S_{3})$ ist also $S_{i}=[O,P_{i}]$. Dabei wird üblicherweise der zu der Strecke $S_{i}$ gehörige Vektor ${\vec {v}}_{i}={\overrightarrow {O{P_{i}}}}$ mit ihr identifiziert.
• Die drei Vektoren ${\vec {v}}_{i}={\overrightarrow {O{P_{i}}}}\;(i=1,2,3)$ sind zu je zweien $\mathbb {R}$-linear unabhängig und es gilt $d=\|{\vec {v}}_{i}\|_{2}=|S_{i}|\;(i=1,2,3)$.
• Man bezeichnet das zugehörige Quadrupel ${\mathcal {D}}^{'}=(O,{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})$ ebenfalls als Dreibein.
• Genauso wird auch in Bezug auf das zugehörige Punktequadrupel ${\mathcal {D}}^{''}=(O,P_{1},P_{2},P_{3})$ von einem Dreibein gesprochen.
• Üblicherweise wird zwischen ${\mathcal {D}},{\mathcal {D}}^{'},{\mathcal {D}}^{''}$ nicht weiter unterschieden und der Zusammenhang als selbstverständlich gegeben betrachtet.

Besonderheiten

• Sind $S_{1},S_{2},S_{3}$ Strecken in der euklidischen Ebene oder in einer Ebene des euklidischen Raums, so nennt man ${\mathcal {D}}$ ein ebenes Dreibein.
• Sind $S_{1},S_{2},S_{3}$ Strecken im euklidischen Raum, die nicht alle in einer Ebene liegen, so nennt man ${\mathcal {D}}$ ein räumliches Dreibein. Dies ist genau dann der Fall, wenn die das Vektorentripel $({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})$ $\mathbb {R}$-linear unabhängig ist.
• Ist ${\mathcal {D}}$ ein räumliches Dreibein und stehen $S_{1},S_{2},S_{3}$ paarweise zueinander senkrecht, so nennt man ${\mathcal {D}}$ ein orthogonales Dreibein.
• Ist ${\mathcal {D}}$ ein orthogonales Dreibein mit $d=1$, so nennt man ${\mathcal {D}}$ ein orthonormiertes Dreibein. In diesem Falle ist der Scheitelpunkt $O$ Eckpunkt des von $S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}$ aufgespannten Würfels der Seitenlänge $d=1$. Man nennt ein orthonormiertes Dreibein daher manchmal auch eine Würfelecke.
• Dreibeine treten nicht zuletzt in der Darstellenden Geometrie auf im Zusammenhang mit dem Fundamentalsatz der Axonometrie. Hier bezeichnet man jedes durch Parallelprojektion entstandene Abbild eines orthonormierten räumlichen Dreibeins als pohlkesches Dreibein.
• In der Differentialgeometrie kommen Dreibeine als begleitenden Dreibeine von Raumkurven vor, insbesondere im Zusammenhang mit den Frenetschen Formeln. Begleitenden Dreibeine entstehen, indem man man zu jedem Kurvenpunkt $c(s)\;(s\in [a,b])$ einer Raumkurve $c\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{3}$ das aus ihm selbst und dem anliegenden Tangenteneinheitsvektor $t(s)$, dem anliegenden Normaleneinheitsvektor $n(s)$ sowie den anliegenden Binormaleneinheitsvektor $b(s)$ bestehende Quadrupel $(c(s),t(s),n(s),b(s))$ betrachtet. Dabei bildet das Vektorentripel $(t(s),n(s),b(s))$ stets ein Rechtssystem.
• In der Differentialgeometrie werden in Verallgemeinerung der begleitenden Dreibeine zu allgemeinen Raumkurven $c\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} ,n\geq 2)$ die begleitenden Frenet-n-Beine untersucht.

Literatur

• Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik. und angrenzender Gebiete. Band 1. A-E. Aulis Verlag Deubner, Köln 1976, ISBN 3-7614-0242-2. 
• Hermann Engesser (Berarbeiter): Der kleine Duden. Mathematik. 2. Auflage. Dudenverlag, Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich 1996, ISBN 3-411-05352-6. 
• W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt/Main 197, ISBN 3-87144-323-9. 
• Wilhelm Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie (= Heidelberger Taschenbücher. Band 107). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1973, ISBN 3-540-06253-X. 
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. Band 2: Analysis und angewandte Mathematik. 11. durchgesehene und korrigierte Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 2003, ISBN 3-423-03008-9. 

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