Schätzproblem

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Ein Schätzproblem ist ein Begriff aus der mathematischen Statistik, das die Schätztheorie als statistisches Entscheidungsproblem auffasst und alle für die Schätzung relevanten Informationen zusammenfasst. Dazu gehört, welche Werte die Daten annehmen, welche Wahrscheinlichkeitsmaße in Betracht gezogen werden, welche Eigenschaft der betrachteten Wahrscheinlichkeitsmaße geschätzt werden soll und wie der groß der Schaden ist, der durch einen Schätzfehler entsteht.

Definition

Ein Schätzproblem ist ein Quadrupel

$({\mathcal {M}},g,L)$

bestehend aus

• Einem statistischen Modell ${\mathcal {M}}=({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$
• Einem Entscheidungsraum $E=(\Delta ,{\mathcal {A}}_{\Delta })$.
• Einer zu schätzenden Funktion

$g\colon \Theta \to \Delta$

• Einer Verlustfunktion

$L\colon \Theta \times \Delta \to \mathbb {R}$

Erläuterungen

Das Schätzproblem fasst alle relevanten Informationen über die Schätzung zusammen:

• Das statistische Modell liefert Informationen darüber, welche Werte die Daten annehmen (Werte in ${\mathcal {X}}$). Des weiteren enthält ${\mathcal {A}}$ alle Mengen, denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden sollen. Hierbei wird das Mengensystem kanonisch gewählt. Die Familie $(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }$ enthält alle Wahrscheinlichkeitsmaße, welche in der gegebenen Situation als relevant erachtet werden. So kommen bei der Untersuchung eines Würfelwurfs andere Wahrscheinlichkeitsmaße in Frage als für die Untersuchung von Schuhgrößen.
• Der Entscheidungsraum $E$ ist ein spezieller Messraum und enthält alle Informationen darüber, für was man sich entscheiden kann. Will man den Parameter einer Bernoulli-Verteilung schätzen, so ist jede Schätzung eine Entscheidung. Entscheidungen sind in diesem Fall also alle Zahlen zwischen null und eins. Anders sieht es bei der Schätzung des Erwartungswertes einer Normalverteilung aus: Hier kkommt jede reelle Zahl als Schätzung und damit als entscheidung in frage. Somit ist hier der Entscheidungsraum größer.
• Die FUnktion $g$, wleche im parametrischen Fall auch parameterfunktion genannt wird, ordnet jedem $\vartheta \in \Theta$ und damit auch jedem $P_{\vartheta }$ eine Entscheidung zu. Sie gibt an, was geschätzt werden soll, so dass hinterher untersucht werden kann, wie weit die Schätzung abweicht. Typisches Beispiel für solche eine FUnktion ist die Funktion, die jedem $P_{\vartheta }$ der Erwartungswert $\operatorname {E} (P_{\vartheta })$ zuordnet. ALternativ könnte sie auch jedem $P_{\vartheta }$ den entsprechenden Median zuordnen.
• Die Verlustfunktion ordnet einer Entscheidung $e$ aus dem Entscheidungsraum in abhängigeit von $\vartheta$ eine reelle Zahl zu, die angibt, wie groß der Schaden durch die Entscheidung für $e$ ist. Sie wird dann zur Risikofunktion erweitert, mit der sich Verschiedene Schätzer und entscheidungsregeln vergleichen lassen.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3. 
• Friedrich Liese, Klaus-J. Miescke: Statistical Decision Theory. Estimation, Testing, and Selection. Springer-Verlag, New York 2008, ISBN 978-0-387-73193-3, doi:10.1007/978-0-387-73194-0.