Wahrscheinlichkeitsmaß

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Wahrscheinlichkeitstheorie dient ein Wahrscheinlichkeitsmaß zur mathematischen Beschreibung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Funktion P, die jedem Ereignis A aus der Ereignisraum \Sigma eines Zufallsexperiments eine Zahl P(A) zwischen 0 und 1, genannt Wahrscheinlichkeit von A, zuordnet und folgende Eigenschaften hat:

  • Das sichere Ereignis \Omega hat die Wahrscheinlichkeit 1.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von mehreren paarweise disjunkten Ereignissen eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Definition[Bearbeiten]

Sei \left(\Omega,\Sigma\right) ein Messraum, also \Sigma eine σ-Algebra über der Grundmenge \Omega. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Funktion P\colon\, \Sigma\to [0,1], welche die folgenden Kolmogorov-Axiome erfüllt:

  • Normierung: P(\Omega) = 1
  • σ-Additivität: Für jede Folge (A_n)_{n\ge 1} paarweise disjunkter Mengen aus \Sigma (wenn also A_n\cap A_m = \emptyset aus n\neq m folgt) gilt
P\left(\bigcup_{n\ge 1} A_n\right) = \sum_{n\ge 1} P(A_n).

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist somit ein Maß P auf einem Messraum \left(\Omega,\Sigma\right) mit der Eigenschaft P\left(\Omega\right) = 1. Die Kombination von Ergebnismenge, Ereignisalgebra und Wahrscheinlichkeitsmaß, das heißt den Maßraum \left(\Omega,\Sigma,P\right), bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsraum.

Literatur[Bearbeiten]

  • Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.
  • David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik: Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2005, ISBN 978-3-540-21676-6.