„Trajektorie (Physik)“ – Versionsunterschied
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[[Datei:Bahnelemente.svg|mini|Die Bahnen der Planeten und Kometen um die Sonne sind annähernd ebene Ellipsen. Durch andere Planeten wird diese Bewegung mehr oder weniger stark gestört. Im Bild ist eine Umlaufbahn (rot) dargestellt, die gegenüber der Erdbahnebe (Ekliptik, grün) einen großen Neigungswinkel ''i'' hat.]] |
[[Datei:Bahnelemente.svg|mini|Die Bahnen der Planeten und Kometen um die Sonne sind annähernd ebene Ellipsen. Durch andere Planeten wird diese Bewegung mehr oder weniger stark gestört. Im Bild ist eine Umlaufbahn (rot) dargestellt, die gegenüber der Erdbahnebe (Ekliptik, grün) einen großen Neigungswinkel ''i'' hat.]] |
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Eine '''Trajektorie''', auch '''Bahnkurve''', ein '''Pfad''' oder '''Weg''' (manchmal auch nach dem Englischen: Orbit), ist in der [[Physik]] der Verlauf der [[Raumkurve]], entlang der sich ein Körper oder ein Punkt, beispielsweise der [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] eines [[Starrer Körper|starren Körpers]], bewegt. Bei einem makroskopischen Körper, etwa einem Geschoss oder einem Ball, spricht man auch von der '''Flugbahn'''. |
Eine '''Trajektorie''', auch '''Bahnkurve''', ein '''Pfad''' oder '''Weg''' (manchmal auch nach dem Englischen: Orbit), ist in der [[Physik]] der Verlauf der [[Raumkurve]], entlang der sich ein Körper oder ein Punkt, beispielsweise der [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] eines [[Starrer Körper|starren Körpers]], bewegt. Bei einem makroskopischen Körper, etwa einem Geschoss oder einem Ball, spricht man auch von der '''Flugbahn'''. Im erweiterten Sinn ist die Trajektorie eine Kurve im n-dimensionalen Phasenraum.<ref>{{Literatur|Autor=Gerthsen|Titel=Physik|Verlag=Springer|Auflage=18|Datum=1995|Seiten=968|ISBN=978-3-662-07467-1|Online={{Google Buch|BuchID=oP7aW8UT1csC|Seite=968}} }}</ref> |
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Bei Körpern, die Zwangsbedingungen unterliegen, wird die Form der Trajektorie mathematisch durch die [[Kinematik]] beschrieben; z. B. beschreibt ein Pendel einen Kreisbogen. Bei Körpern, die nur äußeren Kräften ausgesetzt sind, ergeben sich die Trajektorien als Lösungen von [[Differentialgleichung]]ssystemen. Die Untersuchung der Trajektorie als des zeitabhängigen Verlaufs des [[Ort (Physik)|Ortes]] in einem [[Bezugssystem]] ist Gegenstand der [[Kinetik (Technische Mechanik)|Kinetik]]. |
Bei Körpern, die Zwangsbedingungen unterliegen, wird die Form der Trajektorie mathematisch durch die [[Kinematik]] beschrieben; z. B. beschreibt ein Pendel einen Kreisbogen. Bei Körpern, die nur äußeren Kräften ausgesetzt sind, ergeben sich die Trajektorien als Lösungen von [[Differentialgleichung]]ssystemen. Die Untersuchung der Trajektorie als des zeitabhängigen Verlaufs des [[Ort (Physik)|Ortes]] in einem [[Bezugssystem]] ist Gegenstand der [[Kinetik (Technische Mechanik)|Kinetik]]. |
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== Mathematische Beschreibung == |
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Eine Trajektorie im <math>3</math>-dimensionalen Raum <math>\R^3</math> lässt sich in einer [[Parameterdarstellung]] durch den [[Ortsvektor]] <math>\vec r(\phi)</math> als [[Weg_(Mathematik)| stückweise stetige Funktion]] eines geeigneten Parameters <math>\phi</math> darstellen. |
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Die [[Wegstrecke]] <math>s</math> (zu [[Latein|lat.]] ''spatium'' „Weg“, „Zwischenraum“) bis zu einem Punkt auf der Trajektorie bei <math>\phi_2</math> berechnet sich bezogen auf einen Startpunkt (<math>\phi_1</math>) mit Hilfe des stets positiven [[Linienelement]]s <math>{\mathrm d}s</math> gemäß: |
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:<math>s_{\phi_1} (\phi_2) = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} {\mathrm d}s = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \left| \frac{{\mathrm d}\vec r}{{\mathrm d}\phi} \right| {\rm d}\phi</math>. |
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Oft, z. B. im Strassenbau, ist die Wegstrecke ein geeigneter [[Parameter (Mathematik)|Parameter]]. Mit ihrer Hilfe kann die Trajektorie als <math>\vec r(s)</math> beschrieben werden, ohne dass andere physikalische Größen wie z. B. die Geschwindigkeit bekannt sein müssen oder ein willkürlicher Parameter eingeführt werden muss. |
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Bei der Lösung von Bewegungsgleichungen fällt die Trajektorie als Funktion der Zeit <math>t</math> an. Mit der vektoriellen [[Geschwindigkeit]] <math>\vec v = \frac{\mathrm d\vec r}{\mathrm d t}</math> und <math>{\mathrm d}s=\left| \vec v \right|{\mathrm d}t</math> lässt sich die zeitabhängige Wegstrecke berechnen: |
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:<math>s(t) = \int\limits_{t0}^{t} \left| \vec v \right| {\mathrm d} \tau</math>. |
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== Beispiele von Trajektorien == |
== Beispiele von Trajektorien == |
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* In der [[Objektverfolgung]] wird eine ''Trajektorie'' als der Bewegungspfad eines Objektes dargestellt durch die zeitliche Sequenz von Koordinaten während der Laufzeit. |
* In der [[Objektverfolgung]] wird eine ''Trajektorie'' als der Bewegungspfad eines Objektes dargestellt durch die zeitliche Sequenz von Koordinaten während der Laufzeit. |
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* In der [[Technische Chemie|technischen Chemie]] werden Trajektorien zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens einer chemischen Reaktion verwendet. Hierzu werden Darstellungen in der sogenannten Zustands- oder Phasenebene genutzt, bei denen die augenblickliche Konzentration <math>\!\ c (t)</math> über der Temperatur <math>\!\ T (t)</math> aufgetragen wird. Die Trajektorien zeigen dann die gleichzeitige Veränderung von Konzentration und Temperatur während eines Übergangsvorganges. Entlang der Trajektorie verläuft die Zeit.<ref>{{Literatur|Autor=[[Manfred Baerns]], [[Arno Behr (Chemiker, 1952)|Arno Behr]], Axel Brehm, [[Jürgen Gmehling]], [[Hanns Hofmann (Chemiker)|Hanns Hofmann]], Ulfert Onken|Titel=Technische Chemie|Verlag=Wiley-VCH|ISBN=3-527-31000-2|Jahr=2006|Seiten=158}}</ref> Dabei können die Graphen z. B. (abhängig von den Startbedingungen und natürlich weiteren Variablen) eine spiralförmige Form aufweisen. |
* In der [[Technische Chemie|technischen Chemie]] werden Trajektorien zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens einer chemischen Reaktion verwendet. Hierzu werden Darstellungen in der sogenannten Zustands- oder Phasenebene genutzt, bei denen die augenblickliche Konzentration <math>\!\ c (t)</math> über der Temperatur <math>\!\ T (t)</math> aufgetragen wird. Die Trajektorien zeigen dann die gleichzeitige Veränderung von Konzentration und Temperatur während eines Übergangsvorganges. Entlang der Trajektorie verläuft die Zeit.<ref>{{Literatur|Autor=[[Manfred Baerns]], [[Arno Behr (Chemiker, 1952)|Arno Behr]], Axel Brehm, [[Jürgen Gmehling]], [[Hanns Hofmann (Chemiker)|Hanns Hofmann]], Ulfert Onken|Titel=Technische Chemie|Verlag=Wiley-VCH|ISBN=3-527-31000-2|Jahr=2006|Seiten=158}}</ref> Dabei können die Graphen z. B. (abhängig von den Startbedingungen und natürlich weiteren Variablen) eine spiralförmige Form aufweisen. |
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* Räuber-Beute Beziehungen: [[Lotka-Volterra-Gleichungen]] |
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== Praktische Bestimmung von Trajektorien == |
== Praktische Bestimmung von Trajektorien == |
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Version vom 8. April 2019, 16:36 Uhr
Eine Trajektorie, auch Bahnkurve, ein Pfad oder Weg (manchmal auch nach dem Englischen: Orbit), ist in der Physik der Verlauf der Raumkurve, entlang der sich ein Körper oder ein Punkt, beispielsweise der Schwerpunkt eines starren Körpers, bewegt. Bei einem makroskopischen Körper, etwa einem Geschoss oder einem Ball, spricht man auch von der Flugbahn. Im erweiterten Sinn ist die Trajektorie eine Kurve im n-dimensionalen Phasenraum.[1]
Bei Körpern, die Zwangsbedingungen unterliegen, wird die Form der Trajektorie mathematisch durch die Kinematik beschrieben; z. B. beschreibt ein Pendel einen Kreisbogen. Bei Körpern, die nur äußeren Kräften ausgesetzt sind, ergeben sich die Trajektorien als Lösungen von Differentialgleichungssystemen. Die Untersuchung der Trajektorie als des zeitabhängigen Verlaufs des Ortes in einem Bezugssystem ist Gegenstand der Kinetik.
Beispiele von Trajektorien
- Die Flugbahn einer vom Boden aus abgeschossenen Kanonenkugel oder einer ballistischen Rakete nennt man ballistische Kurve.
- Die Trajektorie eines natürlichen oder künstlichen Himmelskörpers im Schwerefeld eines Zentralkörpers oder im freien Weltraum verläuft auf einer Keplerbahn. Bei geschlossenen Bahnen im Sonnensystem oder in der Galaxis spricht man eher von Umlaufbahn. In jedem Zentralfeld ist die Bahn eines Körpers nach dem Drehimpulserhaltungssatz eine ebene Kurve.
- In einem homogenen magnetischen Feld beschreiben geladene Teilchen spiralförmige Bahnen (Schraubenlinien) um die Magnetfeldlinien.
- Aufgrund des Trägheitsgesetzes verläuft die Trajektorie eines Körpers gerade, wenn auf ihn keine Kraft wirkt beziehungsweise ein Kräftegleichgewicht vorliegt.
- Im Straßenbau wird der Übergang zwischen Gerade und Kreis in Form einer Klothoide ausgeführt.
- Im Rennsport ist die Ideallinie die Trajektorie eines fahrzeugfesten Punkts, auf der ein Streckenabschnitt mit der größten Geschwindigkeit befahren werden kann.
- Das bohrsche Atommodell beschreibt die Flugbahn der Elektronen um den Atomkern als geschlossene Kreisbahnen.
- Die Meteorologie kennt die Trajektorie eines (hypothetischen) Luftpartikels. Es wird zwischen Rückwärts- und Vorwärtstrajektorien unterschieden. Erstere geben an, woher die Luft gekommen ist, letztere, wohin sie sich bewegt. Von der Trajektorie ist die Stromlinie zu unterscheiden; nur in einer stationären Strömung fallen Trajektorien und Stromlinien zusammen.
- In der Objektverfolgung wird eine Trajektorie als der Bewegungspfad eines Objektes dargestellt durch die zeitliche Sequenz von Koordinaten während der Laufzeit.
- In der technischen Chemie werden Trajektorien zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens einer chemischen Reaktion verwendet. Hierzu werden Darstellungen in der sogenannten Zustands- oder Phasenebene genutzt, bei denen die augenblickliche Konzentration über der Temperatur aufgetragen wird. Die Trajektorien zeigen dann die gleichzeitige Veränderung von Konzentration und Temperatur während eines Übergangsvorganges. Entlang der Trajektorie verläuft die Zeit.[2] Dabei können die Graphen z. B. (abhängig von den Startbedingungen und natürlich weiteren Variablen) eine spiralförmige Form aufweisen.
- Räuber-Beute Beziehungen: Lotka-Volterra-Gleichungen
Praktische Bestimmung von Trajektorien
Bei sichtbaren Objekten kann die Trajektorie meist mit fotografischen Mitteln ermittelt werden, wie zum Beispiel mit Photogrammetrie.
Die Trajektorie eines atomaren oder subatomaren Teilchens gibt es nur als anschauliche Hilfsvorstellung, da diese Teilchen durch die Quantenmechanik beschrieben werden müssen. Näherungsweise lassen sich solche Teilchenbahnen in Blasen- oder Nebelkammern sichtbar machen oder indirekt mit Hodoskopen oder Drahtkammern ermitteln.
Einzelnachweise
- ↑ Gerthsen: Physik. 18. Auflage. Springer, 1995, ISBN 978-3-662-07467-1, S. 968 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Manfred Baerns, Arno Behr, Axel Brehm, Jürgen Gmehling, Hanns Hofmann, Ulfert Onken: Technische Chemie. Wiley-VCH, 2006, ISBN 3-527-31000-2, S. 158.