Massenmittelpunkt

Der Massenmittelpunkt (auch Schwerpunkt) eines Körpers ist das mit der Masse gewichtete Mittel der Positionen der Massepunkte des Körpers. Bei einem homogenen Körper (d. h. bei überall gleicher Dichte) stimmt der Massenmittelpunkt mit dem geometrischen Schwerpunkt überein.

Im Massenmittelpunkt angreifende externe Kräfte können den Rotationszustand des Objekts nicht verändern, da sie wegen des im Schwerpunkt fehlenden Hebelarms kein Drehmoment ausüben.

In der Himmelsmechanik bezeichnet man den Massenmittelpunkt eines Systems von mehreren Himmelskörpern als Baryzentrum. Im Schwerpunktsystem wird der Massenmittelpunkt als Koordinatenursprung verwendet (siehe auch Mehrkörper-System).

Der Massenmittelpunkt eines Körpers muss nicht im Inneren des Körpers liegen. Beispiele dafür sind der Torus, ein Bumerang, eine Tasse oder der Körperschwerpunkt eines Hochspringers.

Mathematische Definition

Der Massenmittelpunkt $\vec r_s$ ist das mit der Masse gewichtete Mittel der Ortsvektoren $\vec r$ aller Massepunkte $dm$ eines Körpers:

$\vec r_s = \frac 1 M \int_K {\vec r \,\mathrm{d}m} = \frac{1}{M} \int_K {\vec r\, \rho(\vec r) \,\mathrm{d}V}$

Dabei ist $\rho(\vec r)$ die Dichte am Ort $\vec r$ und $dV$ ein Volumenelement. Der Nenner $M$ dieser Terme ist die Gesamtmasse.

Bei einem homogenen Körper kann die Dichte $\rho$ als Faktor vor das Integral gezogen werden, der Massenmittelpunkt fällt dann mit dem Volumenmittelpunkt (dem geometrischen Schwerpunkt) zusammen. In vielen Fällen kann die Berechnung dann vereinfacht werden; beispielsweise, wenn der Volumenmittelpunkt auf einer Symmetrieachse des Körpers liegt, zum Beispiel bei einer Kugel im Mittelpunkt.

Bei diskreten Systemen kann das Volumenintegral durch eine Summe über die Ortsvektoren $\vec r_i$ aller Massepunkte ersetzt werden:

$\vec r_s = \frac{1}{M}\sum_i m_i \, \vec r_i$

wobei $M$ die Summe aller Einzelmassen $m_i$ ist:

$\!\,M=\sum_i m_i$

Der Begriff Massenmittelpunkt im Vergleich zum Gravizentrum

Siehe auch Hauptartikel Gravizentrum!

Die Gravitation wirkt auf alle Massenpunkte eines Körpers. Nur in einem homogenen Gravitationsfeld ist die Gesamtwirkung so, als würde die Gravitationskraft im Massenmittelpunkt angreifen. Da das Gravitationsfeld oft als homogen angenommen werden kann, z. B. in der Nähe der Erdoberfläche, werden die Begriffe Gravizentrum und Massenmittelpunkt oft beide undifferenziert als Schwerpunkt bezeichnet. In einem inhomogenen Feld ist dieser effektive Punkt verschieden vom Massenmittelpunkt und wird Gravizentrum genannt. In einem solchen Fall treten Gezeitenkräfte auf.

Der Begriff Massenmittelpunkt im Vergleich zum Volumenschwerpunkt

Siehe auch Hauptartikel Geometrischer Schwerpunkt!

Ist ein Körper homogen (besteht er also aus einem Material, das überall die gleiche Dichte hat), so fällt sein Massenmittelpunkt mit seinem geometrischen Volumenschwerpunkt zusammen. Besteht der Körper aus Teilen verschiedener Dichte, kann der Massenmittelpunkt vom Volumenschwerpunkt abweichen. Wenn die Verteilung der Masse innerhalb des Körpers bekannt ist, kann der Massenmittelpunkt durch Integration berechnet werden. Dies war der Anlass, der Isaac Newton zur Entwicklung der Infinitesimalrechnung führte (gleichzeitig mit Leibniz).

Bestimmung des Massenmittelpunktes

Der Schwerpunkt liegt unter dem Aufhängepunkt auf der „Schwerlinie“.

Bestimmung des Massenmittelpunkts als Schnittpunkt der „Schwerlinien“

Aus den obigen Ausführungen gelangt man zu einem einfachen Verfahren zur annähernden Bestimmung des Massenmittelpunktes eines beliebigen starren Körpers. Dabei besteht die Näherung darin, die Abweichungen von Gravizentrum und Massenmittelpunkt und damit auch die Veränderungen der Lage des Gravizentrums bei Drehung des Körpers unberücksichtigt zu lassen: Hängt man den Körper an einem beliebigen Punkt auf, so liegt (in Ruhe) der (näherungsweise) Massenmittelpunkt auf der lotrechten Linie (= „Schwerlinie“) durch den Aufhängepunkt (blaue Linie im Bild rechts).

Wiederholt man dies mit einem anderen Aufhängepunkt, so findet man (näherungsweise) den Massenmittelpunkt als Schnittpunkt zweier solcher Geraden („Schwerlinien“). Dass ein solcher Schnittpunkt tatsächlich existiert und unabhängig von der Wahl der Aufhängepunkte ist, ist allerdings weniger trivial als der erste Anschein glauben lässt.

Verblüffend ist die folgende Methode zur Bestimmung des Massenmittelpunktes eines schmalen und länglichen Gegenstandes (z. B. Lineal oder Besen): Man lege den Gegenstand quer über die beiden auf gleicher Höhe nach vorne ausgestreckten Zeigefinger, was leicht möglich ist, solange die Finger noch weit voneinander entfernt sind. Nun bringe man langsam die Zeigefinger näher zueinander, bis sie sich berühren, wobei man sie stets auf möglichst gleicher Höhe hält. Sofern man dies langsam genug macht, gleitet der Gegenstand langsam über die Finger, ohne nach einer Seite zu kippen. Auf den Finger, der dem Massenmittelpunkt näher liegt, lastet jeweils ein stärkerer Druck, was zu einer stärkeren Reibung führt, d. h. der Gegenstand gleitet vornehmlich über den anderen Finger. Hierdurch regelt sich das System so ein, dass bei beiden Fingern in etwa dieselbe Reibung vorliegt und der Massenmittelpunkt sich in ihrer Mitte befindet. Schließlich berühren sich also die Zeigefinger, der Gegenstand liegt nach wie vor waagerecht und der Schwerpunkt liegt über den beiden Fingern. (Ist der Gegenstand allerdings zu sehr gebogen, ergibt sich der oben erwähnte Effekt und der Schwerpunkt liegt unterhalb des Unterstützungspunktes.)

Literatur

• Die Physik: ein Lexikon der gesamten Schulphysik. Schülerduden, Bibliographisches Institut, Mannheim 1974, ISBN 3-411-01122-X, S. 367–368.