„Schouten-Nijenhuis-Klammer“ – Versionsunterschied
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Die '''Schouten-Nijenhuis-Klammer''' ist ein Begriff aus der [[Differentialgeometrie]]. Sie bezeichnet ein Typ [[Graduierung (Algebra)|gradierter]] [[Lie-Klammer]]n auf dem Raum der alternierenden [[Multivektor#Multivektoren und Multivektorfelder auf Mannigfaltigkeiten|Multivektorfelder]] auf einer [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeit]]. Der Name wird manchmal auch für eine zweite Definition verwendet, die für symmetrische Multivektofelder gilt. |
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== Schouten-Nijenhuis-Klammer == |
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Sei <math>M</math> eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] und <math>[\cdot,\cdot]</math> eine Lie-Klammer. Mit <math>\mathfrak{X}^k(M):=\Gamma(\wedge^k TM)</math> bezeichnen wir den Raum der Schnitte auf <math>\wedge^k TM</math> (der k-ten [[Äußere Potenz|äußeren Potenz]] über dem [[Tangentialbündel]]), das heisst der Raum der alternierenden Multivektorfelder.<ref name="Esposito">{{Literatur |Autor=Chiara Esposito|Titel=Formality Theory From Poisson Structures to Deformation Quantization |
Sei <math>M</math> eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] und <math>[\cdot,\cdot]</math> eine Lie-Klammer. Mit <math>\mathfrak{X}^k(M):=\Gamma(\wedge^k TM)</math> bezeichnen wir den Raum der Schnitte auf <math>\wedge^k TM</math> (der k-ten [[Äußere Potenz|äußeren Potenz]] über dem [[Tangentialbündel]]), das heisst der Raum der alternierenden Multivektorfelder.<ref name="Esposito">{{Literatur |Autor=Chiara Esposito |Autor=Chiara Esposito |Titel=Formality Theory: From Poisson Structures to Deformation Quantization |Reihe=Springer Briefs in Mathematical Physics |BandReihe=Band 2 |Verlag=Springer |Datum=2014 |ISBN=978-3-319-09290-4 |Seiten=13}}</ref> |
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Die schief-symmetrischen Schouten-Nijenhuis-Klammer |
Die schief-symmetrischen Schouten-Nijenhuis-Klammer |
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:<math>[\cdot,\cdot]_S:\mathfrak{X}^k(M)\otimes \mathfrak{X}^l(M)\to \mathfrak{X}^{k+l-1}(M)</math> |
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ist die eindeutige Erweiterung der Lie-Klammer zu einer gradierten Klammer auf <math>\mathfrak{X}^k(M)</math>. Sie werden wie folgt definiert: |
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Die Notation <math>X_{i-}</math> bedeutet, dass <math>X_{i}</math> fehlt. |
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Die Schouten-Nijenhuis-Klammern machen die Multivektorfelder zu einer eine [[Gerstenhaber-Algebra]]. |
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* {{Literatur |Autor = J.A. de Azcarraga, A. M. Perelomov, J. C. Perez Bueno|Titel = The Schouten-Nijenhuis bracket, cohomology and generalized Poisson structures|Sammelwerk = Journal of Physics A: Mathematical and General|Band=29|Nummer=24|Datum=1996|arXiv=hep-th/9605067}} |
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== Einzelnachweise == |
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Version vom 27. April 2022, 22:24 Uhr
Die Schouten-Nijenhuis-Klammer ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie. Sie bezeichnet ein Typ gradierter Lie-Klammern auf dem Raum der alternierenden Multivektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Der Name wird manchmal auch für eine zweite Definition verwendet, die für symmetrische Multivektofelder gilt.
Sie sind benannt nach Jan Schouten und Albert Nijenhuis.
Schouten-Nijenhuis-Klammer
Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine Lie-Klammer. Mit bezeichnen wir den Raum der Schnitte auf (der k-ten äußeren Potenz über dem Tangentialbündel), das heisst der Raum der alternierenden Multivektorfelder.[1]
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
Die schief-symmetrischen Schouten-Nijenhuis-Klammer
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{S}:{\mathfrak {X}}^{k}(M)\otimes {\mathfrak {X}}^{l}(M)\to {\mathfrak {X}}^{k+l-1}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826c7c5ff3ca60ee2e614459a81a26779ba3bf92)
ist die eindeutige Erweiterung der Lie-Klammer zu einer gradierten Klammer auf . Sie werden wie folgt definiert:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}[X_{1}\wedge &\cdots \wedge X_{k},Y_{1}\wedge \cdots \wedge Y_{l}]_{S}\\&:=\sum _{i,j}(-1)^{i+j}[X_{i},X_{j}]X_{1}\cdots X_{i-}\cdots X_{k}Y_{1}\cdots Y_{j-}\cdots Y_{l}\\&:=\sum _{i,j}(-1)^{i+j}[X_{i},X_{j}]\wedge X_{1}\wedge \cdots \wedge X_{i-1}\wedge X_{i+1}\wedge \cdots \wedge X_{k}\wedge Y_{1}\wedge \cdots \wedge Y_{j-1}\wedge Y_{j+1}\wedge \cdots \wedge Y_{l}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d656bffd59dd9609f3da372354b2dd94b261286)
Die Notation bedeutet, dass fehlt.
Die Schouten-Nijenhuis-Klammern machen die Multivektorfelder zu einer eine Gerstenhaber-Algebra.
Eigenschaften
Für gilt:[1]
![{\displaystyle [X,Y]_{S}=(-1)^{kl}[Y,X]_{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727efd54468b7fe90bb5f797a400298e549316b2)
![{\displaystyle [X,Y\wedge Z]_{S}=[X,Y]_{S}\wedge Z+(-1)^{(k+1)l}Y\wedge [X,Z]_{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b7a2ef4d674a447f6b0b59659de31ee80c7436)
Literatur
- Chiara Esposito: Formality Theory: From Poisson Structures to Deformation Quantization (= Springer Briefs in Mathematical Physics. Band 2). Springer, 2014, ISBN 978-3-319-09290-4.
- J.A. de Azcarraga, A. M. Perelomov, J. C. Perez Bueno: The Schouten-Nijenhuis bracket, cohomology and generalized Poisson structures. In: Journal of Physics A: Mathematical and General. Band 29, Nr. 24, 1996, arxiv:hep-th/9605067.
Einzelnachweise
- ↑ a b Chiara Esposito: Formality Theory: From Poisson Structures to Deformation Quantization (= Springer Briefs in Mathematical Physics. Band 2). Springer, 2014, ISBN 978-3-319-09290-4, S. 13.