Graduierung (Algebra)

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Unter Graduierung versteht man im mathematischen Teilgebiet der Algebra die Zerlegung einer abelschen Gruppe oder komplizierterer Objekte in Teile eines bestimmten Grades. Das namengebende Beispiel ist der Polynomring in einer Unbestimmten: Beispielsweise ist das Polynom X^3+3X+5 Summe der Monome X^3 (Grad 3), 3X (Grad 1) und 5 (Grad 0). Umgekehrt kann man endlich viele Monome verschiedenen Grades vorgeben und erhält als Summe ein Polynom.

Es sei durchweg \Gamma eine feste abelsche Gruppe. Beispielsweise kann man \Gamma=\mathbb Z oder \Gamma=\mathbb Z/2\mathbb Z wählen.

Graduierte Vektorräume[Bearbeiten]

Es sei K ein Körper. Eine \Gamma-Graduierung auf einem K-Vektorraum V ist ein System (V_\gamma)_{\gamma\in\Gamma} von Untervektorräumen, so dass V die direkte Summe der V_\gamma ist:

V=\bigoplus_{\gamma\in\Gamma}V_\gamma

Die Vektorräume V_\gamma heißen die graduierten Bestandteile von V.

Elemente v\in V_\gamma\setminus \left\{0\right\} heißen homogen vom Grad \gamma und man schreibt dafür kurz \operatorname{deg} v = \gamma oder \partial v = \gamma. Jedes Element v von V kann genau auf eine Weise als Summe homogener Elemente verschiedenen Grades geschrieben werden; sie heißen die homogenen Bestandteile (oder Komponenten) von v.

Graduierte abelsche Gruppen und R-Moduln für (gewöhnliche, nicht graduierte) Ringe R sind analog definiert.

Ist \Gamma=\mathbb Z, so spricht man häufig nicht explizit von einer \mathbb Z-Graduierung, sondern schlicht von einer Graduierung.

Graduierte Algebren[Bearbeiten]

Es sei K ein Körper. Eine \Gamma-Graduierung auf einer K-Algebra A ist eine \Gamma-Graduierung auf A als K-Vektorraum, für die

A_\gamma\cdot A_\delta\subseteq A_{\gamma+\delta}

für \gamma,\delta\in\Gamma, d.h.

a_\gamma a_\delta\in A_{\gamma+\delta} für a_\gamma\in A_\gamma,a_\delta\in A_\delta

gilt.

Graduierte Ringe[Bearbeiten]

Hauptartikel: Graduierter Ring

Es sei R ein Ring. Eine \Gamma-Graduierung auf R ist eine Familie (R_\gamma)_{\gamma \in \Gamma}, so dass

 R = \bigoplus_{\gamma\in \Gamma}R_\gamma ,

und

R_\gamma\cdot R_\delta\subseteq R_{\gamma+\delta} für alle \gamma,\delta\in\Gamma.[1]

Dies verallgemeinert obige Definition für Algebren. Man beachte, dass für Algebren verlangt wird, dass die direkten Summanden der homogenen Elemente K-Untervektorräume sind, das heißt, dass eine Ring-Graduierung einer K-Algebra möglicherweise keine Algebren-Graduierung, wie sie oben definierte wurde, ist.

Graduierte Moduln[Bearbeiten]

Es sei R ein \Gamma-graduierter Ring. Ein \Gamma-graduierter R-Modul M ist ein R-Modul

M = \bigoplus_{\gamma \in \Gamma} M_\gamma,

so dass

 R_\gamma\cdot M_\delta\subseteq M_{\gamma+\delta}

für \gamma,\delta\in\Gamma gilt.

Diese Definition bezieht sich auf den Fall von Linksmoduln, graduierte Rechtsmoduln sind analog definiert. Bei einer entsprechenden Definition für K-Algebren verlangt man noch, dass die M_\gamma in obiger Definition K-Vektorräume sind.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Der Polynomring A=K[X_1,\ldots,X_n] in n Unbestimmten über einem Körper K ist durch den Gesamtgrad graduiert:
A=\bigoplus_{d\in\mathbb Z}A_d,\quad A_d=\langle X_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}\mid e_1+\ldots+e_n=d\rangle_K.
(Offenbar ist A_d=0 für d<0.)
Es gibt aber noch andere Graduierungen auf A: Es seien \lambda_1,\ldots,\lambda_n positive ganze Zahlen. Dann ist durch
A=\bigoplus_{d\in\mathbb Z}\tilde A_d,\quad\tilde A_d=\langle X_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}\mid \lambda_1e_1+\ldots+\lambda_ne_n=d\rangle_K
ebenfalls eine Graduierung von A definiert, bei der jedoch das Monom X_i Grad \lambda_i hat.
\operatorname{gr}A=\bigoplus_{n\geq0}\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n+1}
eine endlich erzeugte graduierte k-Algebra.
Ist beispielsweise A=\mathbb Z_p für eine Primzahl p, so ist \operatorname{gr}A\cong\mathbb F_p[T].

ℤ/2ℤ-Graduierung[Bearbeiten]

Eine \mathbb Z/2\mathbb Z-Graduierung eines Ringes oder einer Algebra A ist eine Zerlegung A=A_0\oplus A_1 mit A_iA_j \subset A_{i+j}. Dann ist \alpha:A\rightarrow A, \alpha(a_0+a_1) := a_0-a_1 ein Automorphismus auf A mit \alpha^2 = \mathrm{id}_A. Umgekehrt definiert jeder solche Automorphismus eine Graduierung

A_0 := \{a\in A; \alpha(a) = a\}
A_1:= \{a\in A; \alpha(a) = -a\}.

Eine \mathbb Z/2\mathbb Z-Graduierung ist also nichts weiter als die Auszeichnung eines selbstinversen Automorphismus. Speziell für C*-Algebren ist eine \mathbb Z/2\mathbb Z-Graduierung ein C*-dynamisches System mit Gruppe \mathbb Z/2\mathbb Z. Unter einer graduierten C*-Algebra versteht man in der Regel eine \mathbb Z/2\mathbb Z-graduierte C*-Algebra.

Viele mathematische Konstruktionen werden bei graduierten Objekten so angepasst, dass die vorliegende Graduierung respektiert wird. So definiert man etwa einen graduierten Kommutator für homogene Elemente durch

[x,y] := xy - (-1)^{\partial x \cdot \partial y}yx

und für allgemeine Elemente durch lineare Fortsetzung. Man erhält dann zum Beispiel eine graduierte Jacobi-Identität[2]

(-1)^{\partial x \cdot \partial z}[[x,y],z] + (-1)^{\partial x \cdot \partial y}[[y,z],x] + (-1)^{\partial y \cdot \partial z}[[y,z],x] = 0

für homogene Elemente x,y,z\in A

Auch die Bildung des Tensorproduktes wird entsprechend angepasst. Die Multiplikation im graduierten Tensorprodukt \mathbb Z/2\mathbb Z-graduierter Ringe A und B wird dann für Elementartensoren homogener Elemente durch

(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2) := (-1)^{\partial b_1\cdot \partial a_2}(a_1a_2\otimes b_1b_2)

festgelegt. Sätze wie A\otimes B \cong B\otimes A lassen sich auch für die graduierten Tensorprodukte beweisen. Gibt es zusätzlich eine Involution auf den Ringen bzw. Algebren, wie zum Beispiel im Falle von C*-Algebren, so wird eine Involution auf dem graduierten Tensorprodukt durch

(a\otimes b)^* := (-1)^{\partial a\cdot \partial b}(a^*\otimes b^*), a,b homogen,

definiert. Durch Übergang zur einhüllenden C*-Algebra erhält man so ein Tensorprodukt graduierter C*-Algebren.[3]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Definition 5.3 für \Gamma = \Z
  2. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 14.1.3
  3. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 14.4.1