„Kreuzkorrelation“ – Versionsunterschied
[gesichtete Version] | [gesichtete Version] |
Sonix (Diskussion | Beiträge) K →Weblinks: - Link auf alternative, funktionierende Quelle umgebaut |
tk k |
||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
In der [[Signalanalyse]] wird die '''Kreuzkorrelationsfunktion''' <math> R_{xy}(\tau) </math> zur Beschreibung der [[Korrelation (Signalverarbeitung)|Korrelation]] zweier Signale <math> x(t) </math> und <math> y(t) </math> bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen <math>\tau</math> zwischen den beiden Signalen eingesetzt. ''Kreuz'' steht hierbei für den Fall <math> x \neq y </math> der Funktion: |
In der [[Signalanalyse]] wird die '''Kreuzkorrelationsfunktion''' <math> R_{xy}(\tau) </math> zur Beschreibung der [[Korrelation (Signalverarbeitung)|Korrelation]] zweier Signale <math> x(t) </math> und <math> y(t) </math> bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen <math>\tau</math> zwischen den beiden Signalen eingesetzt. ''Kreuz'' steht hierbei für den Fall <math> x \neq y </math> der Funktion: |
||
:<math> R_{xy} (t_1,t_2) = E\{\textbf{X}(t_1) \cdot \textbf{Y}(t_2)\}</math> |
: <math> R_{xy} (t_1,t_2) = E\{\textbf{X}(t_1) \cdot \textbf{Y}(t_2)\}</math> |
||
Handelt es sich um einen schwach [[Stationärer stochastischer Prozess|stationären Prozess]], so ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Wahl der Zeitpunkte <math>t_1</math> und <math>t_2</math>, sondern nur von deren Differenz <math>\tau = t_2 - t_1</math> abhängig. |
Handelt es sich um einen schwach [[Stationärer stochastischer Prozess|stationären Prozess]], so ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Wahl der Zeitpunkte <math>t_1</math> und <math>t_2</math>, sondern nur von deren Differenz <math>\tau = t_2 - t_1</math> abhängig. |
||
Die Kreuzkorrelations-Operation ist identisch mit der komplex konjugierten [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] <math>\overline{f(-t)}</math> (s. [[:en:Cross-correlation#Properties]]). Insbesondere im Fachgebiet [[Maschinelles Lernen]], wo man mit [[Convolutional Neural Network]]s arbeitet, wird aufgrund dieser Identität meistens die Kreuzkorrelation verwendet, diese aber als Faltung bezeichnet, weil sie leichter zu implementieren ist.<ref>{{Literatur |Autor=Ian Goodfellow, Yoshua Bengio |
Die Kreuzkorrelations-Operation ist identisch mit der komplex konjugierten [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] <math>\overline{f(-t)}</math> (s. [[:en:Cross-correlation#Properties]]). Insbesondere im Fachgebiet [[Maschinelles Lernen]], wo man mit [[Convolutional Neural Network]]s arbeitet, wird aufgrund dieser Identität meistens die Kreuzkorrelation verwendet, diese aber als Faltung bezeichnet, weil sie leichter zu implementieren ist.<ref>{{Literatur |Autor=Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville |Hrsg=MIT Press |Titel=Deep Learning |Datum= |Seiten=328–329 |Online=https://www.deeplearningbook.org/}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor= |url=https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.nn.Conv2d.html |titel=Conv2d |werk=Dokumentation PyTorch |hrsg= |datum= |abruf=2021-02-05}}</ref> |
||
== Definition == |
== Definition == |
||
Es gilt für [[Energiesignal]]e: |
Es gilt für [[Energiesignal]]e: |
||
:<math>R_{xy}(\tau) = (x \star y)(\tau) = (x^*(-t) * y(t))(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x^*(t) \, y(t + \tau) \,\mathrm dt</math> |
: <math>R_{xy}(\tau) = (x \star y)(\tau) = (x^*(-t) * y(t))(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x^*(t) \, y(t + \tau) \,\mathrm dt</math> |
||
und für [[Leistungssignal]]e: |
und für [[Leistungssignal]]e: |
||
Zeile 16: | Zeile 16: | ||
:<math>R_{xy}(\tau) = (x \star y)(\tau) = (x^*(-t) * y(t))(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x^*(t) \, y(t + \tau) \,\mathrm dt</math> |
:<math>R_{xy}(\tau) = (x \star y)(\tau) = (x^*(-t) * y(t))(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x^*(t) \, y(t + \tau) \,\mathrm dt</math> |
||
mit <math>x^*</math> als der [[Konjugation (Mathematik)|konjugiert |
mit <math>x^*</math> als der [[Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexen]] Funktion von <math>x</math>, dem Operatorsymbol <math>\star</math> als Kurzschreibweise der Kreuzkorrelation und <math>*</math> als dem der [[Faltung (Mathematik)|Faltungsoperation]]. |
||
Analog wird die [[Zeitdiskretes Signal|diskrete]] Kreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der diskreten Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit der [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>[m]</math> und einer Verschiebung <math>n</math> festgelegt als: |
Analog wird die [[Zeitdiskretes Signal|diskrete]] Kreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der diskreten Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit der [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>[m]</math> und einer Verschiebung <math>n</math> festgelegt als: |
||
Zeile 25: | Zeile 25: | ||
In der digitalen Signalverarbeitung wiederum ist eine endliche Mittelung mit Argumenten beginnend bei Index 0 auf Grund der Architektur von Rechnerregistern erforderlich, wovon es eine vor- und eine unvorgespannte Version gibt: |
In der digitalen Signalverarbeitung wiederum ist eine endliche Mittelung mit Argumenten beginnend bei Index 0 auf Grund der Architektur von Rechnerregistern erforderlich, wovon es eine vor- und eine unvorgespannte Version gibt: |
||
:<math> R_{xy}[m] := |
: <math> R_{xy}[m] := |
||
\begin{cases} |
\begin{cases} |
||
\ \;\, \frac{1}{N-|m|} \sum_{n=0}^{N-m-1} x[n]y[n+m]&\text{für } m \ge 0\\ |
\ \;\, \frac{1}{N-|m|} \sum_{n=0}^{N-m-1} x[n]y[n+m]&\text{für } m \ge 0\\ |
||
Zeile 32: | Zeile 32: | ||
</math> (Vorspannversion) |
</math> (Vorspannversion) |
||
:<math> R_{xy}[m] := |
: <math> R_{xy}[m] := |
||
\begin{cases} |
\begin{cases} |
||
\ \;\, \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-m-1} x[n]y[n+m]&\text{für } m \ge 0\\ |
\ \;\, \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-m-1} x[n]y[n+m]&\text{für } m \ge 0\\ |
||
Zeile 44: | Zeile 44: | ||
[[Datei:Comparison convolution correlation de.svg|mini|hochkant=1.5|Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation.]] |
[[Datei:Comparison convolution correlation de.svg|mini|hochkant=1.5|Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation.]] |
||
Für alle <math>\tau</math> gilt |
Für alle <math>\tau</math> gilt |
||
:<math>R_{xy}(\tau) = R_{yx}(-\tau)</math> |
: <math>R_{xy}(\tau) = R_{yx}(-\tau)</math> |
||
sowie |
sowie |
||
:<math>\left| R_{xy}(\tau) \right| \leq \sqrt{R_{xx}(0)R_{yy}(0)} \leq \frac{1}{2} (R_{xx}(0)+ R_{yy}(0))</math> |
:<math>\left| R_{xy}(\tau) \right| \leq \sqrt{R_{xx}(0)R_{yy}(0)} \leq \frac{1}{2} (R_{xx}(0)+ R_{yy}(0))</math> |
||
und |
und |
||
:<math>\lim \limits_{\tau \to \pm \infty} R_{xy}(\tau)=0</math> |
: <math>\lim \limits_{\tau \to \pm \infty} R_{xy}(\tau)=0</math> |
||
mit den [[Autokorrelation]]sfunktionen <math>R_{xx}(\tau)</math> und <math>R_{yy}(\tau)</math>. |
mit den [[Autokorrelation]]sfunktionen <math>R_{xx}(\tau)</math> und <math>R_{yy}(\tau)</math>. |
||
Zeile 58: | Zeile 58: | ||
=== Verbindung mit der Kreuzkovarianz === |
=== Verbindung mit der Kreuzkovarianz === |
||
Ist eines der Signale <math> x(t) </math> oder <math> y(t) </math> nullsymmetrisch, d. h. ihr Mittelwert über das Signal ist Null <math>( \bar{x}(t)=0 </math> oder <math> \bar{y}(t)=0 )</math>, ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz. Bekannte Vertreter der nullsymmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus- und Kosinusfunktionen. |
Ist eines der Signale <math> x(t) </math> oder <math> y(t) </math> nullsymmetrisch, d. h. ihr Mittelwert über das Signal ist Null <math>( \bar{x}(t)=0 </math> oder <math> \bar{y}(t)=0 )</math>, ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz. Bekannte Vertreter der nullsymmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus- und Kosinusfunktionen. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Siehe auch == |
== Siehe auch == |
||
* [[Autokorrelation]] |
* [[Autokorrelation]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Weblinks == |
== Weblinks == |
||
* {{Webarchiv | |
* {{Webarchiv |url=http://www.mpi-magdeburg.mpg.de/people/kre/uni_sysbio/web/Skripte/statistik_vorles.pdf |text=Kreuzkorrelation und Kombinatorik. |format=PDF; 201 kB |wayback=20120711061734}} mpi-magdeburg.mpg.de |
||
* [https://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institut-fuer-mechanik-und-fluiddynamik-15832/Lehre/lehrveranstaltungen/fluid/MT/kreuzkorrelation.pdf |
* [https://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institut-fuer-mechanik-und-fluiddynamik-15832/Lehre/lehrveranstaltungen/fluid/MT/kreuzkorrelation.pdf Die Kreuzkorrelation.] tu-freiberg.de; abgerufen am 16. Juli 2018. |
||
* [https://www.uni-muenster.de/Physik.AP/Veranstaltungen/F-Praktikum/anleitungen/Korrelationstechnik.pdf Korrelationstechnik] |
* [https://www.uni-muenster.de/Physik.AP/Veranstaltungen/F-Praktikum/anleitungen/Korrelationstechnik.pdf Korrelationstechnik.] uni-muenster.de; abgerufen am 16. Juli 2018. |
||
* [https://www.db-thueringen.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbt_derivate_00016660/ilm1-2009000010.pdf Merkmalslistenbasierte Kreuzkorrelationsmethoden für die medizinische Bildverarbeitung] (abgerufen am 16. Juli 2018 |
* [https://www.db-thueringen.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbt_derivate_00016660/ilm1-2009000010.pdf Merkmalslistenbasierte Kreuzkorrelationsmethoden für die medizinische Bildverarbeitung.] (PDF) db-thueringen.de; abgerufen am 16. Juli 2018. |
||
* [https://publikationen.bibliothek.kit.edu/1000025105 Ansätze zur datengetriebenen Formulierung von Strukturhypothesen für dynamische Systeme] |
* [https://publikationen.bibliothek.kit.edu/1000025105 Ansätze zur datengetriebenen Formulierung von Strukturhypothesen für dynamische Systeme.] kit.edu; abgerufen am 15. Februar 2022. |
||
== Einzelnachweise == |
== Einzelnachweise == |
Version vom 5. Oktober 2022, 20:59 Uhr
In der Signalanalyse wird die Kreuzkorrelationsfunktion zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale und bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen zwischen den beiden Signalen eingesetzt. Kreuz steht hierbei für den Fall der Funktion:
Handelt es sich um einen schwach stationären Prozess, so ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Wahl der Zeitpunkte und , sondern nur von deren Differenz abhängig.
Die Kreuzkorrelations-Operation ist identisch mit der komplex konjugierten Faltung (s. en:Cross-correlation#Properties). Insbesondere im Fachgebiet Maschinelles Lernen, wo man mit Convolutional Neural Networks arbeitet, wird aufgrund dieser Identität meistens die Kreuzkorrelation verwendet, diese aber als Faltung bezeichnet, weil sie leichter zu implementieren ist.[1][2]
Definition
Es gilt für Energiesignale:
und für Leistungssignale:
mit als der konjugiert komplexen Funktion von , dem Operatorsymbol als Kurzschreibweise der Kreuzkorrelation und als dem der Faltungsoperation.
Analog wird die diskrete Kreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der diskreten Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit der Folge und einer Verschiebung festgelegt als:
- = (Energiesignale)
- = (Leistungssignale)
In der digitalen Signalverarbeitung wiederum ist eine endliche Mittelung mit Argumenten beginnend bei Index 0 auf Grund der Architektur von Rechnerregistern erforderlich, wovon es eine vor- und eine unvorgespannte Version gibt:
- (Vorspannversion)
- (unvorgespannte Version)
Die Kreuzkorrelation ist mit der Kreuzkovarianz eng verwandt.
Eigenschaften
Für alle gilt
sowie
und
mit den Autokorrelationsfunktionen und .
Sie zeigt z. B. Spitzen bei Zeitverschiebungen, die der Signallaufzeit vom Messort des Signals zum Messort des Signals entsprechen. Auch Laufzeitunterschiede von einer Signalquelle zu beiden Messorten können auf diese Weise festgestellt werden. Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Übertragungswegen und zur Ortung von Quellen.
Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel über die inverse Fouriertransformation des Kreuzleistungsspektrums ermittelt:
Verbindung mit der Kreuzkovarianz
Ist eines der Signale oder nullsymmetrisch, d. h. ihr Mittelwert über das Signal ist Null oder , ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz. Bekannte Vertreter der nullsymmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus- und Kosinusfunktionen.
Siehe auch
Literatur
- Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.
- Rüdiger Hoffmann: Signalanalyse und -erkennung. Springer, 1997, ISBN 3-540-63443-6.
Weblinks
- Kreuzkorrelation und Kombinatorik. ( vom 11. Juli 2012 im Internet Archive; PDF; 201 kB) mpi-magdeburg.mpg.de
- Die Kreuzkorrelation. tu-freiberg.de; abgerufen am 16. Juli 2018.
- Korrelationstechnik. uni-muenster.de; abgerufen am 16. Juli 2018.
- Merkmalslistenbasierte Kreuzkorrelationsmethoden für die medizinische Bildverarbeitung. (PDF) db-thueringen.de; abgerufen am 16. Juli 2018.
- Ansätze zur datengetriebenen Formulierung von Strukturhypothesen für dynamische Systeme. kit.edu; abgerufen am 15. Februar 2022.
Einzelnachweise
- ↑ Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville: Deep Learning. Hrsg.: MIT Press. S. 328–329 (deeplearningbook.org).
- ↑ Conv2d. In: Dokumentation PyTorch. Abgerufen am 5. Februar 2021.