Gauß-Prozess

Ein Gauß-Prozess (nach Carl Friedrich Gauß) ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein stochastischer Prozess mit der Eigenschaft, dass alle endlichdimensionalen Verteilungen mehrdimensional normalverteilt ist.

Die Anwendung von Gauß-Prozessen spielt unter anderem in der Informatik eine Rolle im Bereich des maschinellen Lernens.

Definition

Ein Gaußprozess ist ein spezieller stochastischer Prozess $(X_{t})_{t\in T}$ auf einer beliebigen Indexmenge $T$, wenn seine endlichdimensionalen Verteilungen mehrdimensionale Normalverteilungen (auch Gaußverteilungen) sind. Es soll also für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle Indizes $t_{1},t_{2},\dotsc ,t_{n}\in T$ die multivariate Verteilung von $(X_{t_{1}},X_{t_{2}},\dotsc ,X_{t_{n}})$ durch eine $n$-dimensionale Normalverteilung gegeben sein.

Analog zur ein- und mehrdimensionalen Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Gauß-Prozesses über die ersten beiden Momente vollständig und eindeutig bestimmt. Bei der mehrdimensionalen Normalverteilung sind dies der Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix. Beim Gaußprozess treten an deren Stelle eine Erwartungswertfunktion

$\mu (t):=\mathbb {E} (X_{t}),\quad t\in T$

und eine Kovarianzfunktion

$\gamma (t,s):=\operatorname {Cov} (X_{t},X_{s}):=\mathbb {E} \left[(X_{t}-\mu (t))\cdot (X_{s}-\mu (s))\right],\quad t,s\in T$.

Durch die Festlegung des Paars $(\mu ,\gamma )$ liegen die Parameter aller mehrdimensionalen Normalverteilungen fest und damit liegt die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gauß-Prozesses fest.

Beispiele

• Das Gauß'sche weiße Rauschen hat die Erwartungswertfunktion $\mu (t)=0$ für alle $t\in T$ und die Kovarianzfunktion

$\gamma (s,t)={\begin{cases}1&{\text{für }}s=t\\0&{\text{für }}s\neq t\end{cases}}$.

• Der Wiener-Prozess (bzw. Brownsche Bewegung) hat die Erwartungswertfunktion $\mu (t)=0$ für alle $t\in T$ und die Kovarianzfunktion $\gamma (s,t)=\min(s,t)$ für alle $s,t\in T$.
• Ist $T=\mathbb {R} _{+}$ und sind $f,g$ zwei integrierbare reellwertige Funktionen sowie $(W_{t})_{t\geq 0}$ ein Wiener-Prozess, so ist der Itō-Prozess

$X_{t}=\int _{0}^{t}f(s)\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}g(s)\mathrm {d} W_{s}$

ein Gauß-Prozess mit Erwartungswertfunktion $t\mapsto \int _{0}^{t}f(s)\mathrm {d} s$ und Kovarianzfunktion $(s,t)\mapsto \int _{0}^{min(s,t)}g^{2}(r)\mathrm {d} r$.

Literatur

• P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Gaußscher Prozess, S. 132–133.