Kovarianzmatrix

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Als Kovarianzmatrix (selten auch: Varianz-Kovarianz-Matrix) wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie die Matrix aller paarweisen Kovarianzen der Elemente eines Zufallsvektors bezeichnet. Insofern verallgemeinert dieser Begriff den Einfluss der Varianz einer eindimensionalen Zufallsvariable auf eine mehrdimensionale Zufallsvariable.

Die Kovarianzmatrix enthält Informationen über die Streuung eines Zufallsvektors und über Korrelationen zwischen dessen Komponenten. Ist X=(X_1,\ldots,X_n) ein Zufallsvektor, so ist die zugehörige Kovarianzmatrix \operatorname{Cov}(X) gegeben durch

\operatorname{Cov}(X) = \bigl(\operatorname{Cov}(X_i, X_j)\bigr)_{i,j=1,\ldots,n} = \begin{pmatrix} 
\operatorname{Cov}(X_1,X_1) & \cdots & \operatorname{Cov}(X_1,X_n) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\operatorname{Cov}(X_n,X_1) & \cdots& \operatorname{Cov}(X_n,X_n)
\end{pmatrix} \in\R^{n,n}\,.

Dabei bezeichnet \operatorname{Cov}(X_i, X_j) die Kovarianz der reellen Zufallsvariablen X_i und X_j. Gelegentlich wird die Kovarianzmatrix von X auch durch \Sigma_X bezeichnet.

Ist \mu = \operatorname{E}(X) der Erwartungswert des Zufallsvektors X, so gilt

\operatorname{Cov}(X) = \operatorname{E}\bigl((X - \mu)(X - \mu)^T\bigr) = \operatorname{E}(X X^T) - \mu \mu^T\,.

Hierbei sind Erwartungswerte von Vektoren und Matrizen komponentenweise zu verstehen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die Kovarianzmatrix enthält auf der Hauptdiagonalen die Varianzen der einzelnen Komponenten des Zufallsvektors. Somit sind alle Elemente auf der Hauptdiagonalen nicht-negativ.
  • Eine reelle Kovarianzmatrix ist symmetrisch, da die Kovarianz zweier Zufallsvariablen symmetrisch ist.
  • Die Kovarianzmatrix ist positiv semidefinit: Wegen der Symmetrie ist jede Kovarianzmatrix mittels Hauptachsentransformation diagonalisierbar, wobei die Diagonalmatrix wieder eine Kovarianzmatrix ist. Da auf der Diagonale nur Varianzen stehen, ist die Diagonalmatrix folglich positiv semidefinit und somit auch die ursprüngliche Kovarianzmatrix.
  • Umgekehrt kann jede symmetrische positiv semidefinite d\times d-Matrix als Kovarianzmatrix eines d-dimensionalen Zufallsvektors aufgefasst werden.
  • Aufgrund der Diagonalisierbarkeit, wobei die Eigenwerte (auf der Diagonale) wegen der positiven Semidefinitheit nicht-negativ sind, können Kovarianzmatrizen als Ellipsoide dargestellt werden.
  • Für alle Matrizen A\in\R^{m\times n} gilt \operatorname{Cov}(AX) = A\,\operatorname{Cov}(X)A^T.
  • Für alle Vektoren b\in\R^n gilt \operatorname{Cov}(X+b) = \operatorname{Cov}(X).
  • Sind X und Y unkorrelierte Zufallsvektoren, dann gilt \operatorname{Cov}(X+Y) = \operatorname{Cov}(X)+\operatorname{Cov}(Y).
  • Sind die Zufallsvariablen standardisiert, so enthält die Kovarianzmatrix gerade die Korrelationskoeffizienten.

Um einen Zufallsvektor X zu simulieren, der einer gegebenen Kovarianzmatrix gehorchen und den Erwartungswert \mu haben soll, bestimmt man die Zerlegung der Kovarianzmatrix \operatorname{Cov}(X) = DD^T (z. B. mit der Cholesky-Zerlegung) und berechnet den Zufallsvektor zu X = D \xi + \mu, wobei \xi ein Zufallsvektor mit voneinander unabhängigen standardnormalverteilten Komponenten ist.

Literatur[Bearbeiten]