„Skorochodscher Einbettungssatz“ – Versionsunterschied
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* Sei <math>X</math> [[Dirac-Verteilung|Dirac-verteilt]] zum Punkt <math>0</math>, dann ist <math>E(X)=0</math> und <math>\operatorname{Var}(X)=0</math>. Wähle <math>\tau \equiv 0</math>, so ist <math>E(\tau)=\operatorname{Var}(X)=0</math> und <math>W_0\overset{d}=X</math>. |
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* Sei <math>X</math> zweipunktverteilt auf <math>\{a,b\}</math> mit <math>a<0<b</math> mit <math>P^X(\{a\})=\frac{b}{b-a}</math> bzw. <math>P^{X}(\{b\})=-\frac{a}{b-a}</math>. Wähle dann die Ersteintrittszeit <math>\tau=\inf \{t\geq 0 : B_t\in \{a,b\}\}</math>, so folgt <math>E(X)=0</math> und <math>\operatorname{Var}(X)=-ab</math> und <math>B_\tau\overset{d}=X</math>. |
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*{{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} |
*{{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} |
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*{{Literatur|Autor=Ludger Rüschendorf|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin / Heidelberg|Jahr=2016|ISBN=9783662489376 |DOI=}} |
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Version vom 20. April 2024, 01:30 Uhr
Der Skorochodsche Einbettungssatz (auch in den Schreibungen Skorokhod oder Skorohod zu finden) ist ein mathematischer Satz aus der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er ist nach Anatoli Skorochod benannt. Anschaulich besagt er, dass jede Zufallsvariable sich (unter gewissen Umständen) in die mathematische Modellierung der brownschen Molekularbewegung, den Wiener-Prozess, einbetten lässt.
Aussage
Gegeben sei ein Wiener-Prozess und die entsprechende erzeugte Filtrierung.
Sei eine reellwertige Zufallsvariable mit und
Dann existiert eine Stoppzeit bezüglich , so dass
ist und dieselbe Verteilung hat wie .
Beispiele
- Sei Dirac-verteilt zum Punkt , dann ist und . Wähle , so ist und .
- Sei zweipunktverteilt auf mit mit bzw. . Wähle dann die Ersteintrittszeit , so folgt und und .
Anwendung
Mit dem Einbettungssatz lässt sich das Gesetz des iterierten Logarithmus in der allgemeinen Form leichter herleiten. Dafür zeigt man zuerst das Gesetz des iterierten Logarithmus für den Wiener-Prozess und weitet dann dieses Ergebnis mittels des Einbettungssatzes auf den allgemeinen Fall aus.
Literatur
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Ludger Rüschendorf: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48937-6.