Lemma von Céa

Entwurf: Céa-Lemma

Das Céa-Lemma, oft auch Lemma von Céa oder Céas Lemma genannt, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Es ist grundlegend für die Fehlerschätzung von Finite-Elemente-Näherungen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Das Lemma trägt den Namen zu Ehren des französischen Mathematikers Jean Céa, der es in seiner Dissertation 1964 bewies.

Aussage des Lemmas

Sei $V$ ein reeller Hilbertraum mit der Norm $\|\cdot \|$. Sei $a:V\times V\to \mathbb {R}$ eine Bilinearform, die

• beschränkt (äquivalent dazu stetig), d. h. $|a(v,w)|\leq C\|v\|\,\|w\|$ für eine Konstante $C>0$ und alle $v,w\in V$

• und koerzitiv (häufig auch stark positiv, V-elliptisch), d. h. $a(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}$ für eine Konstante $\alpha >0$ und alle $v\in V$

ist. Sei weiter $L:V\to \mathbb {R}$ ein beschränkter linearer Operator. Betrachte das Problem ein $u\in V$ mit

$a(u,v)=L(v)\,$ für alle $v\in V$.

zu finden. Betrachte nun das gleiche Problem in einem Unterraum $V_{h}\subset V$, so dass für $u_{h}\in V_{h}$ gilt

$a(u_{h},v)=L(v)\,$ für alle $v\in V_{h}$.

Nach dem Lemma von Lax-Milgram gibt es für die Probleme eine eindeutige Lösung.

Das Céa-Lemma besagt

$\|u-u_{h}\|\leq {\frac {C}{\alpha }}\|u-v\|$ für alle $v\in V_{h}$.

Dies bedeutet, dass die Lösung $u_{h}$ aus dem Unterraum $U_{h}$ nur um die Konstante $C/\alpha$ schlechter ist als die beste Approximation für $u$ im Raum $V_{h}$.

Bemerkungen

Mit einer symmetrischen Bilinearform verkleinert sich die Konstante auf ${\sqrt {C/\alpha }}$.

Das Céa-Lemma gilt auch für komplexe Hilberträume, indem eine Sesquilinearform $a(\cdot ,\cdot )$ statt der Bilinearform verwendet wird. Die Koerzivität wird dann zu $|a(v,v)|\geq \alpha \|v\|^{2}$ für alle $v\in V$ (man beachte den Betrag um $a(v,v)$).

Literatur

• D. Braess: Finite Elemente - Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. 4. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-72449-0 (Kapitel II §4.2 und Kapitel III §1.1). 

• Jean Céa: Approximation variationnelle des problèmes aux limites. Band 14, Nr. 2, 1964, S. 345–444 (PDF, 5 MB – Original-Arbeit von J. Céa).