Thévenin-Theorem

In der Theorie linearer elektrischer Netzwerke besagt das Thévenin-Theorem, beannnt nach Léon Charles Thévenin und auch als Helmholtz-Thévenin-Theorem oder Helmholtz-Satz bezeichnet, dass jede mögliche Kombination von Spannungsquellen, Stromquellen und Widerständen bezüglich zweier Klemmen elektrisch äquivalent zu einer Reihenschaltung aus einer Spannungsquelle und einem Widerstand R ist. Diese Ersatzschaltung wird Thévenin-Äquivalent oder im deutschen Sprachraum Ersatzspannungsquelle genannt. Dieses Theorem wird zum Beispiel zur Vereinfachung in der Schaltungsanalyse verwendet.

Berechnung des Thévenin-Äquivalents

Jede elektrische Schaltung, die ausschließlich aus Spannungsquellen, Stromquellen und Widerständen besteht, kann in ein Thévenin-Äquivalent umgewandelt werden.

Das Thévenin-Äquivalent besteht aus einem Widerstand R_Th und einer Spannungsquelle U_Th. Um die zwei Unbekannten R_Th und U_Th zu bestimmen, benötigt man zwei Gleichungen. Diese Gleichungen können auf verschiedene Art und Weise erstellt werden. Meistens gebraucht man jedoch folgende:

• Die Ausgangsspannung U_AB bei offenen Klemmen A-B, d. h. ohne Lastwiderstand, bestimmen. Diese Leerlaufspannung ist die Thévenin-Äquivalentspannung U_Th.

Um den Thévenin-Äquivalentwiderstand R_Th zu bestimmen, benutzt man meistens eine der drei folgenden Methoden:

• Man ersetzt alle unabhängigen Spannungsquellen durch Kurzschlüsse (behält jedoch die Innenwiderstände) und streicht alle unabhängigen Stromquellen (d. h. man ersetzt sie durch Open Circuits bzw. Unterbrechungen). Gesteuerte (abhängige) Strom- bzw. Spannungsquellen sind jedoch in der Schaltung zu belassen! Dann berechnet man den Ersatzwiderstand. Dieser ist gleich dem Thévenin-Äquivalentwiderstand.
• Wenn man den Kurzschlussstrom I_AB kennt, benutzt man das Ohmsche Gesetz, um R_Th zu bestimmen:

$R_{\mathrm {Th} }={\frac {U_{\mathrm {Th} }}{I_{\mathrm {AB} }}}$

• Man schließt einen Widerstand mit bekanntem Wert an A-B an. Mit Hilfe des Spannungsteilergesetzes kann man dann den Thévenin-Äquivalentwiderstand $R_{\mathrm {Th} }$ bestimmen.

Eine geläufige Variante dieser Methode ist die der Halb-Spannung: Man schließt einen veränderbaren Widerstand (ein Potentiometer) an A-B an und misst die Spannung. Dann variiert man den Wert des veränderbaren Widerstandes, bis man die Hälfte der Leerlaufspannung $U_{\mathrm {Th} }$ über A-B misst. Der veränderliche Widerstand ist dann gleich dem Thévenin-Äquivalentwiderstand $R_{\mathrm {Th} }$.

Der Beweis des Thévenin-Theorems basiert auf dem Superpositionsprinzip.

Umwandlung zwischen Norton- und Thévenin-Äquivalent

Norton-Thévenin-Äquivalent-Umwandlung

Ein Norton-Äquivalent kann in ein Thévenin-Äquivalent umgewandelt werden anhand folgender Gleichungen:

$R_{Th}=R_{No}\,$

$U_{Th}=I_{No}R_{No}\,$

Anmerkung: Das $V_{Th}$ im Schaltbild ist eine englische Schreibweise und entspricht dem deutschen $U_{Th}$.

Erweiterung für Wechselstrom

Das Norton-Theorem kann auch auf harmonische Wechselstromsysteme verallgemeinert werden, indem Impedanzen statt der ohmschen Widerstände verwendet werden.

Geschichte

Das Thévenin-Theorem wurde zuerst vom deutschen Wissenschaftler Hermann von Helmholtz 1853 entdeckt. Es wurde dann 1883 vom französischen Ingenieur Léon Charles Thévenin (1857-1926) wiederentdeckt.

Literatur

• Karl Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger: Theoretische Elektrotechnik. Springer, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29290-X.