Rademacherfunktionen

Die ersten drei Rademacherfunktionen

Die Rademacherfunktionen, benannt nach Hans Rademacher, sind für jede natürliche Zahl $n$ auf dem (halboffenen) Einheitsintervall [0,1) definierte Funktionen, die nur die Werte -1 und 1 annehmen.

Definition

Die $n$-te Rademacherfunktion ist so definiert:

$r_{n}(t):=(-1)^{k}\,$, falls ${\frac {k}{2^{n}}}\leq t<{\frac {k+1}{2^{n}}}$ gilt (mit einem k mit $0\leq k<2^{n}-1$).

Alternativ kann man die $n$-te Rademacherfunktion durch

$r_{n}(t):=\operatorname {sgn} {\big (}\sin {\big (}2^{n}\pi t{\big )}{\big )}$

definieren. Diese Definition ist äquivalent zur ersten Definition für alle Zahlen $t$, die nicht von der Form $k/2^{n}\,$ sind. Wenn $t$ diese Form hat, so ist $\sin \left(2^{n}\pi t\right)=0$ und daher verschwindet auch das Vorzeichen (sgn). Der Unterschied betrifft jedoch für jedes $n$ nur endlich viele $t$ und spielt daher z.B. in Funktionenräumen wie $L^{2}([0,1])$ keine Rolle (da hier die Funktionen auf Nullmengen beliebig verändert werden können).

In der Literatur werden gelegentlich die Rademacherfunktionenen auch ausserhalb des Basisintervall periodisch fortgesetzt und die Definition der Rademacherfunktionen erfolgt mit Bezug zu den Walsh-Kaczmarz-Funktionen „Walsh-Sinus“ $\operatorname {sir}$ und „Walsh-Cosinus“ $\operatorname {cor}$ als:

$\operatorname {sir} (x):=(-1)^{\lfloor 2x\rfloor }=\operatorname {sign} (\sin(2\pi x))$

$\operatorname {cor} (x):=(-1)^{\lfloor 2x+{\frac {1}{2}}\rfloor }=\operatorname {sign} (\cos(2\pi x))$

Die $n$-te Rademacherfunktionen sind dann in diesem Zusammenhang als Paar definiert als:

$\operatorname {sir} (2^{n}x)$

$\operatorname {cor} (2^{n}x)$

Mit obiger Festlegung lassen sich leichter Bezüge, ähnlich wie bei den trigonometrischen Funktionen, bilden wie beispielsweise:

$\operatorname {sir} (x)\operatorname {cor} (x)=\operatorname {sir} (2x)$

Beispiele

Für die Funktion $r_{1}(t)\,$ gilt also:

$r_{1}(t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\end{cases}}$

und für die Funktion $r_{2}(t)\,$:

$r_{2}(t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/4,\\-1&1/4\leq t<1/2,\\1\quad &1/2\leq t<3/4,\\-1&3/4\leq t<1.\\\end{cases}}$

Allgemein ordnet die $n$-te Rademacher-Funktion einer Zahl $t$ im Einheitsintervall eine –1 zu, wenn die $n$-te Ziffer in der Binärdarstellung von $t$ eine 1 ist, und eine 1, falls diese Ziffer 0 ist. Zum Beispiel gilt

r₁(0,375) = r₁(0,011₂) = 1

und

r₂(0,375) = r₂(0,011₂) = –1.

Rademachersystem

Die Rademacherfunktionen bilden ein Orthonormalsystem des Raum der quadratintegrierbaren Funktionen $L^{2}([0,1])$. Das heißt es gilt

$\int _{0}^{1}r_{n}(x)r_{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{mn}$,

wobei $\delta _{mn}$ das Kronecker-Delta ist. Dieses Orthonormalsystem trägt den Namen Rademachersystem, es ist jedoch keine Orthonormalbasis von $L^{2}([0,1])$.

Normale Zahlen

Die Zahl $t\in [0,1)$ heißt einfach normal zur Basis 2 (siehe auch normale Zahl), wenn die beiden Ziffern 0 und 1 in ihrer Binärdarstellung gleich häufig vorkommen. Die Tatsache, dass fast alle Zahlen einfach normal sind, kann man mit Hilfe der Rademacherfunktionen so beschreiben:

Es gilt für fast alle t in [0,1)

$\lim _{n\to \infty }{\frac {r_{1}(t)+\cdots +r_{n}(t)}{n}}=0.$

Interpretiert man die Binärdarstellung jeder der Zahlen im Einheitsintervall als unendliche Folge von Münzwürfen (Bernoulli-Prozess mit $p=1/2$), so ist das gerade die Aussage des starken Gesetzes der großen Zahlen.

Chintschin-Ungleichung

Eine einfache Version dieser Ungleichung, die nach Alexander Jakowlewitsch Chintschin benannt ist und in der die Rademacherfunktionen $r_{n}(t)\,$ vorkommen, lautet wie folgt.

Ist $(a_{n})_{n}$ eine Folge reeller Zahlen, so gilt für jede natürliche Zahl $N$

$\int _{0}^{1}\left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}r_{n}(t)\right|dt\geq {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\sum _{n=1}^{N}a_{n}^{2}\right)^{1/2}.$

Siehe auch

• Haar-Wavelet

Literatur

• Hans Rademacher: Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen. Mathematische Annalen '''87''', 112–138, 1922 (Online). 
• Mark Kac: Statistical independence in probability, analysis and number theory. Carus Mathematical Monographs '''12'''), Mathematical Association of America, 1959 (Kapitel 1 und 2: Anwendung auf Münzwurf). 
• Donald Knuth: The Art of Computer Programming, Volume 4A: Combinatorial Algorithms. Addison Wesley, Reading (MA), 2011 (insb. S. 287/288). 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Square Wave. In: MathWorld (englisch).