Kronecker-Delta

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Das Kronecker-Delta ist ein mathematisches Zeichen, das durch ein kleines Delta mit zwei Indizes (typischerweise \delta_{ij}\,) dargestellt wird und nach Leopold Kronecker benannt ist. Es wird manchmal auch als Kronecker-Symbol bezeichnet, obwohl es noch ein anderes Kronecker-Symbol gibt.

Der auch gebräuchliche Begriff Deltafunktion ist irreführend, weil damit häufiger das Dirac-Delta bezeichnet wird.

Es wird vor allem in Summenformeln im Zusammenhang mit Matrix- oder Vektoroperationen verwendet, oder um Fallunterscheidungen in Formeln zu vermeiden.

Definition[Bearbeiten]

Das Kronecker-Delta ist definiert als:

\delta_{ij} = \begin{cases}
 1 & \text{falls } i = j \\
 0 & \text{falls } i \neq j
\end{cases}

Dabei können i und j Elemente einer beliebigen Indexmenge I sein, meist jedoch einer endlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Das Kronecker-Delta kann in der Form

\delta=\mathrm{1}_D\colon I\times I\to \{0,1\},

geschrieben werden, ist also die charakteristische Funktion \mathrm{1}_D der Diagonalmenge D=\{(i,j)\in I \times I \mid i=j\}. Häufig wird dabei an Stelle von \{0,1\} ein erweiterter Bildraum, z.B. die reellen Zahlen, betrachtet.

Manchmal ist eine alternative Darstellung in der Form

\delta_{nm} = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^N e^{2 \pi i \frac{k}{N}(n-m)}

für große N hilfreich.

Für Produkte von Kronecker-Deltas mit i,j,k\in I_1 und b_i\in I_2 \;\forall i mit Indexmengen I_1,I_2 gilt

\prod_i \delta_{b_i b_j} = \prod_i \delta_{b_i b_k} \;\forall j,k

Dieser Ausdruck vergleicht quasi jedes b_i mit dem feststehenden b_j und ist nur dann 1, wenn alle Ausdrücke gleich sind, weshalb statt b_j ein beliebiges b_i (ausgedrückt als b_k) dafür eingesetzt werden kann.

Für beispielsweise I_1=\{1,2,3\} mit b_1:=a,\; b_2:=b,\; b_3:=c bedeutet das (nach Streichung der gleichen Indizes):

\delta_{ba}\delta_{ca} = \delta_{ab}\delta_{cb} = \delta_{ac}\delta_{bc}

Dieser Ausdruck ist genau dann (und nur dann) 1, wenn a=b=c gilt. Wird das Kronecker-Delta zusammen mit der einsteinschen Summenkonvention verwendet, so ist diese Aussage nicht korrekt. Auf das Kronecker-Delta zusammen mit der einsteinschen Summenkonvention wird im Abschnitt Als (r,s)-Tensor eingegangen.

Trivialerweise gilt auch (für a,b\in I):

\prod \delta_{ab} = \delta_{ab} \,.

Als (r,s)-Tensor[Bearbeiten]

Betrachtet man das Kronecker-Delta auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V, so kann man es als (0,2)-Tensor verstehen. Als multilineare Abbildung

 \delta \colon V \times  V \to  \mathbb R

ist das Kronecker-Delta durch seine Wirkung auf die Basisvektoren eindeutig bestimmt und es gilt


\delta(e_i,e_j) = \begin{cases} 1, & \mbox{falls } i=j, \\  0, & \mbox{falls } i \neq j.\end{cases}

Das Kronecker-Delta als (0,2)-Tensor ist ein Spezialfall der allgemeinen Definitionen vom Artikelanfang. Ist nämlich in der allgemeinen Definition die Indexmenge endlich und werden durch diese endlichdimensionale Vektoren indiziert, dann sind die allgemeine Definition und die Sichtweise als (0,2)-Tensor gleich. Eine andere Erweiterung des als Tensor aufgefassten Kronecker-Deltas ist das Levi-Civita-Symbol.

Im Zusammenhang mit dem Tensorkalkül wird oftmals die einsteinsche Summenkonvention verwendet, bei dieser wird über doppelt auftretende Indizes summiert. Das heißt, in einem n-dimensionalen Vektorraum gilt


\delta_{ab}\delta_{ab}=\sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n \delta_{ab}\delta_{ab} = \sum_{a=1}^n \delta_{aa}=\sum_{1}^{n} 1=n \neq \delta_{ab}\,.

Meistens wird bei dieser Summenkonvention auch darauf geachtet, welche Indizes oben und welche unten stehen und es wird nur summiert, wenn der gleiche Index einmal oben und einmal unten steht. Im Fall des Kronecker-Deltas müsste es dann also \delta^a_{b}\delta_{a}^b = n lauten.

Integraldarstellung[Bearbeiten]

Wählt man als Indexmenge die Menge der ganzen Zahlen \Z, dann kann das Kronecker-Delta mithilfe eines Kurvenintegrals dargestellt werden. Es gilt nämlich

  
\delta_{xn} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z|=1} z^{x-n-1} dz = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(x-n)\varphi} d\varphi\,,

wobei die Kurve, die auf dem Kreis |z|=1 verläuft, gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist. Diese Darstellung kann mithilfe des Residuensatzes bewiesen werden.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Mit dem Kronecker-Delta kann man das Skalarprodukt orthonormierter Vektoren e_1, \dots, e_n als \langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij} schreiben.

Alternative Definition in der digitalen Signalverarbeitung[Bearbeiten]

In der digitalen Signalverarbeitung wird eine andere ähnliche Definition des Kronecker-Deltas verwendet. Das Kronecker-Delta wird hier als Funktion auf \Z verstanden und ist definiert durch

\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}\,.

Die Funktion wird in diesem Zusammenhang als „Einheitsimpuls“ bezeichnet und dient der Ermittlung der Impulsantwort in diskreten Systemen wie beispielsweise digitalen Filtern.[1]

Siehe auch[Bearbeiten]

  • Die Delta-Distribution bildet ein Analogon in der Distributionentheorie, sie verhält sich unter Integration wie das Kronecker-Delta unter Summation über alle möglichen Werte für einen der beiden Parameter.
  • Das Dirac-Maß dagegen bildet ein Analogon in der Maßtheorie, es verhält sich unter Integration bezüglich des Maßes analog zum Kronecker-Delta.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. Oldenbourg Verlag, 1999, ISBN 3-486-24145-1.

Weblinks[Bearbeiten]