Abelsches Lemma

Das abelsche Lemma ist ein Hilfsresultat zur Untersuchung des Konvergenzbereiches von Potenzreihen. Es ist benannt nach Niels Henrik Abel.

Aussage

Sei

$P(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z - z_0)^k$

eine Potenzreihe. Ist $z_1 \neq z_0$ ein Punkt, für den die Folge $\left\{a_k (z_1 - z_0)^k\right\}_k$ beschränkt ist, so konvergiert $P$ absolut und normal in der offenen Kreisscheibe $\left\{z \in \mathbb{C} \,:\, \left|z_0 - z\right| < \left|z_0 - z_1\right| \right\}$.

Konsequenz

Aus dem Lemma folgt, dass jede Potenzreihe einen wohldefinierten Konvergenzradius hat und auf jedem Kompaktum innerhalb des Konvergenzkreises gleichmäßig konvergiert, außerhalb des Konvergenzkreises divergiert. Für Punkte auf dem Konvergenzkreis wird keine Aussage über die Konvergenz gemacht.

Quelle

• Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4, Seite 98.