Algebraisch konjugiert

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Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers, die gemeinsame Lösungen eines Minimalpolynoms sind.

Definition[Bearbeiten]

Seien L/K eine Körpererweiterung und K[x] der Polynomring zu K mit der Unbestimmten x. Die Elemente a, b \in L seien algebraisch abhängig von K, das heißt es existieren 0\neq q(x), p(x)\in K[x] mit p(a)=q(b)=0. Dann heißen a und b algebraisch konjugiert über K, wenn

\text{Für alle }p(x) \in K[x] \text{ ist }p(a)=0\text{ genau dann, wenn }p(b)=0

Alternativ:

\text{a und b haben dasselbe Minimalpolynom über K.}

Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von „konjugiert“.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die komplexen Zahlen \textstyle i und \textstyle -i sind gemeinsame Lösungen des Minimalpolynoms \textstyle x^2+1 und als solche algebraisch konjugiert über \R. Über \C haben sie natürlich die Minimalpolynome x-i bzw. x+i und sind nicht konjugiert.
  • Verallgemeinerung davon: Jeweils 2 konjugiert-komplexe Zahlen \textstyle a+bi und \textstyle a-bi (für b\neq 0) sind auch algebraisch konjugiert über \R. Das Minimalpolynom ist \textstyle x^2 - 2ax + a^2+b^2
  • Die Goldene Zahl \Phi und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper \Bbb Q. Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms \textstyle x^2 - x -1.