Konjugiertes Element

Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers, wenn sie bezüglich eines Unterkörpers dasselbe Minimalpolynom haben.

Definition

Seien $L/K$ eine Körpererweiterung und $K[x]$ der Polynomring zu $K$ mit der Unbestimmten $x$. Die Elemente $a,b\in L$ seien algebraisch über $K$, das heißt, es existieren $0\neq q(x),p(x)\in K[x]$ mit $p(a)=q(b)=0$.

Dann heißen $a$ und $b$ algebraisch konjugiert über $K$, wenn $a$ und $b$ dasselbe Minimalpolynom über $K$ haben.

Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von „konjugiert“.

Eigenschaften

• $a$ und $b$ sind genau dann konjugiert über dem Körper $K$, wenn für alle $p(x)\in K[x]$ gilt, dass $p(a)=0\Leftrightarrow p(b)=0$.
• Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung mit $L=K(b)$ für ein $b\in L\setminus K$. Dann sind $a,b\in L$ genau dann konjugiert über dem Körper $K$, wenn es ein Element $\varphi$ in der Galoisgruppe $\mathrm {Gal} (L/K)$ gibt mit $\varphi (a)=b$.

Beispiele

• Die komplexen Zahlen $i$ und $-i$ haben über $\mathbb {R}$ beide das Minimalpolynom $\textstyle x^{2}+1$ und sind daher algebraisch konjugiert über $\mathbb {R}$. Über $\mathbb {C}$ haben sie natürlich die Minimalpolynome $x-i$ bzw. $x+i$ und sind nicht konjugiert.
• Allgemeiner gilt: Zwei komplexe Zahlen $a+bi$ und $c+di$ mit $b,d\neq 0$ sind genau dann algebraisch konjugiert über $\mathbb {R}$, wenn sie durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen, also $a=c,b=-d$ gilt. Das gemeinsame Minimalpolynom ist in diesem Fall $x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}$.
• Die Goldene Zahl $\Phi$ und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper $\mathbb {Q}$. Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms $\textstyle x^{2}-x-1$.
• Die zu $x_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ algebraisch Konjugierten erhält man wie folgt: Aus

$x_{1}^{2}=5+2{\sqrt {6}}$, $\quad x_{1}^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\quad$ und $\quad x_{1}^{4}=49+20{\sqrt {6}}$

ergibt sich das Minimalpolynom

$x^{4}-10x^{2}+1=\left(x^{2}-5\right)^{2}-24$.

Durch zweifaches Wurzelziehen erhält man, zusammen mit der Beziehung $5\pm 2{\sqrt {6}}=({\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}})^{2}$, die weiteren Nullstellen:

$x_{2}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$,$\quad x_{3}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,$\quad x_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$.

Literatur

• Chr. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra. Gruppe – Ringe – Körper. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2.