Algebraisches Element

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Die Begriffe algebraisches und transzendentes Element treten in der abstrakten Algebra auf und verallgemeinern das Konzept von algebraischen und transzendenten Zahlen.

Ist L/K eine Körpererweiterung, dann heißt ein Element a\in L algebraisch über K, wenn es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit Koeffizienten in K gibt, das a als Nullstelle hat. Ein Element, für das kein solches Polynom existiert, heißt transzendent über K.[1]

Für die Erweiterung \mathbb{C}/\mathbb{Q} stimmen diese Begriffe mit denen der algebraischen bzw. transzendenten Zahl überein.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch über \Bbb Q, denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms X^2-2, dessen Koeffizienten rational sind.
  • Die Kreiszahl \pi und die Eulersche Zahl e sind transzendent über \Bbb Q, aber algebraisch über \Bbb R, denn sie sind als reelle Zahlen definiert. Allgemeiner gilt:
  • Jedes Element a des Körpers K ist algebraisch über K, denn es ist Nullstelle des linearen Polynoms X-a.
  • Jede komplexe Zahl, die sich durch rationale Zahlen, die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division), sowie durch Wurzelziehen (mit natürlichen Wurzelexponenten) bilden lässt, ist algebraisch über \Bbb Q.
  • Aus der Galoistheorie folgt aber andererseits, dass es über \Bbb Q algebraische Zahlen gibt, die sich nicht auf diese Weise darstellen lassen; vergleiche hierzu den Satz von Abel-Ruffini.
  • Über dem Körper \Bbb Q_p der p-adischen Zahlen ist e (als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultäten) algebraisch, denn für p>2 ist e^p und für p=2 ist e^4 in \Bbb Q_p enthalten.
  • Bildet man zu einem beliebigen Körper K den Körper der Formalen Laurentreihen K\left(\left(X\right)\right), so ist die formale Variable X ein transzendentes Element dieser Erweiterung.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für ein Element a aus L (einem Oberkörper von K)[2]:

  • a ist algebraisch über K
  • die Körpererweiterung K\left(a\right)/K hat endlichen Grad, d.h. K\left(a\right) ist als K-Vektorraum endlichdimensional.
  • K\left(a\right)=K\left[a\right]

Dabei ist K\left[a\right] die Ringadjunktion von a an K, die aus allen Elementen von L besteht, die sich als g\left(a\right) mit einem Polynom g über K schreiben lassen; K\left(a\right) ist dessen Quotientenkörper in L und besteht aus allen Elementen von L, die sich als g\left(a\right)/h\left(a\right) mit Polynomen g und h über K (h\left(a\right) ungleich 0) schreiben lassen.

Diese Charakterisierung kann genutzt werden, um zu zeigen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von über K algebraischen Elementen wieder algebraisch über K sind. Die Menge aller über K algebraischen Elemente von L bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung L/K, den so genannten algebraischen Abschluss in L.

Minimalpolynom[Bearbeiten]

Ist a algebraisch über K, dann gibt es viele Polynome g\in K[X] mit g\left(a\right)=0. Es gibt aber genau ein normiertes Polynom von kleinstem Grad mit Nullstelle a, dieses heißt das Minimalpolynom von a über K. Aus ihm kann man viele Eigenschaften von a ablesen. Zum Beispiel ist der Grad dieses Polynoms gleich dem Erweiterungsgrad von K\left(a\right)/K.[3]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Definition 6.2.10
  2. Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.3.3 und Satz 6.3.4
  3. Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 6.3