Anfangszahl

Der Begriff der Anfangszahl (engl. initial number oder initial ordinal) entstammt der Mengenlehre. Er hängt direkt zusammen mit der Klasseneinteilung der unendlichen Ordinalzahlen nach ihrer Mächtigkeit. In jeder der dabei gebildeten Zahlklassen bildet die jeweils zugehörige Anfangszahl die kleinste Ordinalzahl innerhalb dieser Zahlklasse. Auf diesem Wege stehen Anfangszahlen und Alephs zueinander in umkehrbar eindeutiger Beziehung.

Definition

Gegeben sei eine beliebige unendliche Kardinalzahl ${\mathfrak {m}}$. Zu dieser bildet man innerhalb der Ordinalzahlenklasse $On$ die zugehörige Zahlklasse $Z({\mathfrak {m}})$ derjenigen Ordinalzahlen $\eta$, für die $|\eta |={\mathfrak {m}}$ ist. In $Z({\mathfrak {m}})$ existiert eine eindeutig bestimmte kleinste Ordinalzahl.

Diese Zahl nennt man die zu ${\mathfrak {m}}$ gehörige Anfangszahl oder die Anfangszahl der Mächtigkeit ${\mathfrak {m}}$ und bezeichnet sie mit $\omega ({\mathfrak {m}})$.

Ist dabei ${\mathfrak {m}}$ ein Aleph, etwa ${\mathfrak {m}}=\aleph _{\tau }$ für $\tau \in On$, so setzt man $\omega _{\tau }=\omega (\aleph _{\tau })$.

Eigenschaften

Die Anfangszahlen haben folgende Eigenschaften:

(1) Keine Anfangszahl ist gleichmächtig einer Ordinalzahl, welche innerhalb der Ordinalzahlenklasse $On$ echt kleiner ist als sie selbst.

(2) $\omega _{0}=\omega$

(3) Bezeichnet man mit $h$ die Hartogs-Zahl-Funktion, so ist stets $\omega _{\tau +1}=h(\omega _{\tau })$.

(4) $\omega _{\lambda }=\sup\{\omega _{\tau }\mid \,\tau <\lambda \}$, falls $\lambda$ eine Limeszahl ist

(5) $|\omega _{\tau }|=\aleph _{\tau }$

(6) $Z(\aleph _{\tau })=\{\eta \in On\mid \omega _{\tau }\leq \eta <\omega _{\tau +1}\}$

(7) Zu jeder Anfangszahl $\alpha$ gibt es ein $\tau \in On$ mit $\alpha =\omega _{\tau }$.

(8) Jede Anfangszahl ist eine Limeszahl.

(9) Für jedes $\tau \in On$ hat $Z(\aleph _{\tau })$ den Ordnungstypus $\omega _{\tau +1}$ und somit die Mächtigkeit $\aleph _{\tau +1}$.

(10) Für $\sigma ,\tau \in On$ gilt $\omega _{\sigma }=\omega _{\tau }$ dann und nur dann, wenn $\sigma =\tau$.

(11) Für $\sigma ,\tau \in On$ gilt $\omega _{\sigma }<\omega _{\tau }$ dann und nur dann, wenn $\sigma <\tau$.

Anmerkungen

1. Neben der Schreibung $\omega _{\tau }$ findet man auch die Schreibung $\Omega _{\tau }.$
2. Manche Autoren fassen die Begriffe Aleph und Anfangszahl gleich auf..
3. Die obige Eigenschaft (1) ist in gewissem Sinne charakteristisch für die Anfangszahlen, könnte also zur Definition herangezogen werden. Geht man so vor, so hat man auch endliche Anfangszahlen, also die natürlichen Zahlen, zu betrachten.
4. Georg Cantor folgend bezeichnet man als erste Zahlklasse die Menge der natürlichen Zahlen, während man $Z(\aleph _{0})$ die zweite Zahlklasse nennt. Die erste Zahlklasse hat demnach die Mächtigkeit $\aleph _{0}$, die zweite Zahlklasse die Mächtigkeit $\aleph _{1}$. Das berühmte Kontinuumproblem lässt sich daher auch mit der Frage gleichsetzen, ob die zweite Zahlklasse die Mächtigkeit des Kontinuums hat.
5. Im Zusammenhang mit den Anfangszahlen hat Felix Hausdorff den folgenden Satz von Hausdorff formuliert:

Jede linear geordnete Menge der Mächtigkeit   $\aleph _{\tau }$   ($\tau \in On$)   umfasst eine in der gegebenen Ordnung wohlgeordnete Teilmenge, die konfinal in ihr ist und deren Ordnungstypus $\leq \omega _{\tau }$ ist.

Literatur

• P. S. Alexandroff: Einführung in die Mengenlehre und die Theorie der reellen Funktionen (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 23). 6. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973. 
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 3., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1994, ISBN 3-411-17113-8. 
• Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 9). 3., umgearbeitete und stark erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1928. 
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York, NY 2005, ISBN 0-387-24219-8.  MR2127991
• Karel Hrbacek - Thomas Jech: Introduction to Set Theory (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 85). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Dekker, New York (u. a.) 1984, ISBN 0-8247-7074-9. 
• Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. 999/999a). 6. Auflage. De Gruyter, Berlin 1969. 
• Dieter Klaua: Allgemeine Mengenlehre. Akademie-Verlag, Berlin 1964. 
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1994, ISBN 3-411-17271-1. 
• Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1958.  MR0095787